Высоты треугольников, на первый взгляд, кажутся обычными линиями. Однако они обладают множеством удивительных и полезных свойств. Эти свойства позволяют эффективно решать математические задачи, вычислять площади треугольников, доказывать геометрические утверждения. В данной статье мы подробно рассмотрим самые важные и интересные свойства высот в треугольниках.
Определение и основные виды высоты треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или ее продолжение. В зависимости от вида треугольника, высота может располагаться по-разному.
- В остроугольном треугольнике все три высоты целиком лежат внутри фигуры.
- В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе.
- В тупоугольном треугольнике две высоты выходят за пределы фигуры, точка их пересечения лежит вне треугольника.
Особое свойство высоты проявляется в равнобедренном и равностороннем треугольниках. В них высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. А в равностороннем треугольнике совпадают даже все три высоты.
Ортоцентр треугольника
Одно из самых удивительных и важных свойств высоты треугольника заключается в том, что все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром . Это можно доказать с помощью теоремы о серединном перпендикуляре (см. иллюстрацию ниже).
Положение ортоцентра зависит от вида треугольника:
- Для остроугольного треугольника ортоцентр лежит внутри фигуры.
- Для прямоугольного треугольника ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
- Для тупоугольного треугольника ортоцентр лежит вне фигуры.
Использование этого удивительного свойства высот позволяет эффективно решать многие задачи на построение и вычисление. Рассмотрим несколько примеров таких задач далее.
Свойства высот прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника справедлива теорема об отношении высоты к проекциям гипотенузы на катеты. Она гласит, что высота равна среднему геометрическому этих проекций (см. формулу и иллюстрацию ниже).
Это свойство можно применять для вычисления элементов прямоугольного треугольника, например, при решении известной задачи Фаньяно в прямоугольном треугольнике. Также оно используется при вычислении площадей треугольников и многоугольников, составленных из прямоугольных треугольников.
| Формула | h = ab/с |
| где: | h - высота прямоугольного треугольника |
| а, b - длины катетов | |
| с - гипатенуза |
Свойства высот в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию треугольника, совпадают . Это позволяет для вычисления высоты равнобедренного треугольника использовать простые формулы через стороны треугольника (см. таблицу).
| Формула для высоты: | h = √ a 2 - (b / 2) 2 |
| где: | a, b- длина основания равнобедренного треугольника |
Таким образом, зная только длину основания, можно легко найти высоту для любого равнобедренного треугольника. Это свойство часто используется при решении задач на вычисление площадей.
Свойства высот в равностороннем треугольнике
В равностороннем треугольнике все три высоты, а также медианы и биссектрисы совпадают. Кроме того, точка их пересечения (ортоцентр) совпадает с центром описанной окружности и центром вписанной окружности.
Таким образом, в равностороннем треугольнике справедливы простые формулы для вычисления любой из «замечательных» линий, включая высоту:
- Высота равностороннего треугольника = а (√3)/2
Это удивительное свойство позволяет очень быстро находить высоту, не вычерчивая все построения. Давайте рассмотрим пример такой задачи.
Высоты и площадь треугольника
Одним из важнейших применений свойств высот треугольника является вычисление его площади. Известны следующие формулы для нахождения площади треугольника через длины его сторон и высоты:
- S = (ab * h) / 2, где a и b - стороны треугольника, h - высота к одной из сторон
- S = a * ha, где a - сторона треугольника, ha - высота, опущенная на сторону a
Эти формулы можно получить из теоремы об отношении площадей подобных треугольников, опираясь на свойства высот и подобия треугольников. Благодаря им, зная длины всего двух элементов треугольника, можно найти его площадь.
Пример задачи
В треугольнике ABC известно: AB = 5 см, BC = 6 см, BĈ = 2 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
Используем формулу S = (ab * h) / 2:
- a = 5 см
- b = 6 см
- h (высота BĈ) = 2 см
Подставляем значения в формулу: S = (5 * 6 * 2) / 2 = 30 см2
Ответ: S = 30 см2
Построение высот и нахождение ортоцентра
Рассмотрим, как можно построить высоты треугольника и найти положение его ортоцентра с помощью циркуля и линейки:
- Строим произвольный треугольник ABC
- Из вершины A опускаем перпендикуляр AD на противоположную сторону BC (одна высота готова)
- Аналогично опускаем вторую высоту CE из вершины C
- Точка пересечения высот E и есть ортоцентр искомого треугольника
Зная расположение ортоцентра, можно эффективно решать многие задачи на построение, например:
- Построить треугольник по двум сторонам и ортоцентру
- Вписать в треугольник окружность, касающуюся сторон в основаниях высот
Применение свойств высот при решении задач
Рассмотрим несколько примеров задач школьной программы по геометрии, которые эффективно решаются с использованием удивительных свойств высот.
Задача 1
В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. Точка пересечения медиан AM и BN обозначена K. Найдите угол МКН, если известно, что МК = 5 см, а NK = 12 см.
Решение: Так как треугольник ABC - прямоугольный, а М и N - середины сторон AB и BC соответственно, то отрезки AM и BN являются высотами. Согласно свойству высот, они пересекаются в ортоцентре K треугольника ABC.
Обозначим основание высоты AM через D, тогда получаем два подобных прямоугольных треугольника AKM и MKD (угол М общий). По теореме об отношении высоты к проекции гипотенузы для них справедливо: MK^2 = AK*MD (*звездочка вместо знака умножения*) Подставляя числовые значения, получаем: 25 = AK*12 Отсюда AK = 5. Аналогично, подставляя значения для треугольника MKN: NK^2 = KNMD 144 = 12MD MD = 12 Используя свойство высот, заключаем, что ∠МКН = ∠ДКН = 90 градусов. Ответ: 90 градусов.
Задача 2
Дан равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 10 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с AB = AC = 10 см, BC = 16 см. Так как это равнобедренный треугольник, то высота CD, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. По теореме о свойствах высот для любого треугольника CD перпендикулярна стороне BC. Значит, CD является радиусом окружности, описанной около треугольника ABC. Высоту равнобедренного треугольника можно найти по формуле: CD = (√3)/2 * AB = (√3)/2 * 10 = 5 * √3 см Ответ: радиус описанной окружности равен 5 * √3 см.
