Равноускоренное движение играет важную роль в физике и технике. Знание формул для расчета пути позволяет решать многие практические задачи.
Основные понятия
Равноускоренным называется движение, при котором ускорение остается постоянным по величине и направлению. Классическим примером является свободное падение тел вблизи поверхности Земли с ускорением свободного падения g=9,8 м/с2.
Скорость тела при равноускоренном движении определяется формулой:
v = v0 + at,
где v0 - начальная скорость, a - ускорение, t - время.
Тело при равноускоренном движении может перемещаться как по прямой, так и по кривой траектории. Рассмотрим случай пути пройденный при равноускоренном движении по прямой.
Вывод формулы для расчета пути
Впервые формулу для расчета пути тела при равноускоренном движении вывел Галилео Галилей путем графического анализа.
Разобьем график зависимости скорости равноускоренного движения от времени на малые промежутки. За каждый промежуток движение можно считать равномерным.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении.
Тогда путь, пройденный за первый малый промежуток времени, можно вычислить по формуле равномерного движения:
s1 = v1*t1,
а полный путь равен сумме площадей всех малых прямоугольников на графике. Эту сумму площадей можно вычислить как площадь трапеции:
S = (v0 + вкон)/2 * t
где v0 – начальная скорость, вкон – конечная скорость, t – время.
Учитывая, что вкон = v0 + at, получим окончательно:
s = v0*t + a*t2/2
Это и есть формула пути при равноускоренном движении, полученная Галилеем.
Связь перемещения и пути
При прямолинейном равноускоренном движении векторы скорости и ускорения сонаправлены. В этом случае модуль перемещения совпадает с пройденным путем:
- s = l,
где s - перемещение, l - путь.
Поэтому формула Галилея позволяет также рассчитать перемещение тела за заданный промежуток времени.
Окончательный вид формулы пути
Учитывая, что s = l, окончательно формула для расчета пути при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
l = l0 + v0*t + a*t2/2,
где l0 - начальное положение тела.
Данная формула позволяет найти положение тела в любой момент времени при известных начальных условиях.
Расчет пути при отсутствии начальной скорости
В случае, если в начальный момент тело находилось в покое (v0 = 0), формула упрощается:
l = l0 + a*t2/2
Это часто имеет место, например, при свободном падении тел.
Расчет пути проходимого при равноускоренном движении за n-ю секунду
Можно также вычислить пути проходимые при равноускоренном движении не за весь промежуток времени, а за k-ю секунду от начала движения:
lk = a*(2*k - 1)/2,
где k - номер секунды (k = 1, 2, 3...).
Например, за 6 секунду:
l6 = a*(2*6 - 1)/2 = 5*a
Расчет пути за заданный промежуток времени
Часто необходимо найти путь, пройденный за некоторый промежуток времени от начала равноускоренного движения, например с 4-й по 6-ю секунду.
В этом случае используется формула:
lk-n = a*(n2 - (n-1)2)/2,
где k - номер первой секунды промежутка, n - номер последней секунды промежутка.
Например, для промежутка от 4-й до 6-й секунды:
l4-6 = a*(62 - 42)/2 = 5*a
Расчет пути при несовпадении направлений векторов скорости и ускорения
Если направления векторов скорости и ускорения не совпадают, движение разбивают на два этапа - разгон и торможение.
На каждом этапе направления скорости и ускорения совпадают, поэтому можно применить стандартные формулы. Полный путь равен сумме модулей путей на каждом этапе:
l = |l1| + |l2|
Графики зависимости пути от времени
График пути от времени при прямолинейном равноускоренном движении представляет собой параболу. При равнозамедленном движении график имеет два участка.
По графику пути можно также определить ускорение, подставив координаты точки в формулу пути.
Пример расчета пути по графику скорости
Рассмотрим пример определения пройденного пути автомобилем по известному графику его скорости.
График скорости автомобиля.
Необходимо найти путь с 20-й по 50-ю секунду. Этому интервалу соответствуют два участка графика:
- 1) равномерное движение со скоростью v1 = 10 м/с
- 2) равноускоренное движение с a = 2 м/с2
Используем формулы пути для обоих видов движения:
Путь на 1-м участке (30 с):
s1 = v1*t1 = 10 м/с * (40 с - 20 с) = 200 м
Путь на 2-м участке (10 с):
s2 = v1*t2 + a*t22/2 = 10 м/с * 10 с + 2 м/с2 * (10 с)2/2 = 150 м
Полный путь:
s = s1 + s2 = 200 м + 150 м = 350 м
Пример расчета тормозного пути
Рассчитаем тормозной путь автомобиля движущегося со скоростью 72 км/ч. Водитель начал тормозить, и автомобиль остановился через 3 секунды с ускорением 2 м/с2.
Этапы решения:
- Перевод скорости в СИ: v0 = 72 км/ч = 20 м/с
- Запись исходных данных:
- v0 = 20 м/с a = 2 м/с2 t = 3 с
- Торможение считаем равноускоренным движением с ускорением a направленным против начальной скорости v0
- Используем формулу пути: s = v0*t + a*t2/2
- Подставляем значения: s = 20 м/с * 3 с - 2 м/с2 * 32/2 = 60 м - 9 м = 51 м
Ответ: тормозной путь автомобиля составил 51 м.
