Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная компонента соответствует равномерному и прямолинейному движению, вертикальная - свободному падению с начальной вертикальной скоростью. Используя известные законы механики для этих видов движения, получаем ряд формул, позволяющих рассчитать различные характеристики полета тела. В данной статье на конкретных примерах будет показано применение формул для вычисления ключевых параметров движения, таких как высота и время подъема, дальность полета.
Время и высота подъема тела по формулам физики
Ключевой характеристикой вертикальной составляющей движения является время подъема тела до максимальной высоты. Это время можно найти из выражения для вертикальной скорости:
Vy = V0y - gt
Вывод формулы времени подъема
В момент достижения максимальной высоты вертикальная скорость обращается в ноль. Приравнивая ее к нулю в выражении для вертикальной скорости и решая полученное уравнение относительно t, получаем формулу времени подъема:
t =
V0y/g
Расчет максимальной высоты подъема
Зная время подъема, можно рассчитать максимальную высоту из формулы вертикального перемещения:
H =
V0y2/(2g)
Высота подъема зависит от начальной скорости V0 и угла броска. Эту зависимость можно представить в виде таблицы или графика для различных заданных условий.
Применение формул для расчета реальных случаев
Рассмотрим конкретный численный пример, демонстрирующий применение полученных формул. Пусть тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 20 м/с. Тогда его высота полета составит:
V0y = V0 * sin(60°) = 20 * 0,866 = 17,3 м/с
t = V0y/g = 17,3/9,8 = 1,76 с
H = V0y2/(2g) = (17,3)2/19,6 = 15,5 м
Дальность полета тела
Дальность полета тела определяется его горизонтальным перемещением. По горизонтали тело движется равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью V0x. Используя формулы равномерного движения, получаем:
L = V0x * t
где L - дальность полета, t - полное время полета. Подставляя выражение для времени из предыдущих выводов:
L = 2 * V0 * sin(α) * cos(α) / g
Максимальная дальность полета
Из полученной формулы видно, что дальность полета максимальна при α = 45°, т.е. когда тело брошено под углом 45° к горизонту. Это важный практический вывод для достижения предельных дальностей.
Другие характеристики движения
Кроме высоты и дальности полета, по полученным ранее зависимостям можно найти и другие характеристики, такие как:
- Мгновенная скорость в любой момент времени;
- Угол между вектором скорости и горизонтом;
- Вертикальная координата тела в заданный момент.
Мгновенная скорость тела
Модуль мгновенной скорости тела в любой момент времени t можно найти из теоремы Пифагора, используя горизонтальную и вертикальную составляющие скорости:
V = √(V0x2 + (V0y - gt)2)
Минимальное значение скорости будет в верхней точке траектории (V0y = gt), а максимальное - в начале и конце полета.
Угол между векторами скорости и горизонта
Этот угол можно найти как:
φ = arctg((V0y - gt)/V0x)
В начале полета он равен углу броска α, в конце - стремится к нулю.
Вертикальная координата тела
Координату y тела в любой момент времени t можно определить по формуле вертикального движения:
y = y0 + V0y·t - gt2/2
Это позволяет вычислить текущую высоту в заданный момент времени.
Рассмотрим пример применения полученных формул для решения практической задачи.
Условие задачи
Из пункта А с начальной скоростью V0 = 25 м/с под углом α = 60° к горизонту был произведен запуск ракеты. Определить:
- Время полета ракеты;
- Максимальную высоту подъема;
- Горизонтальную дальность полета.
Решение
Дано: V0 = 25 м/с, α = 60°.
1. Время полета: t = 2V0sinα/g = 2·25·sin60°/9,8 = 3 с.
2. Максимальная высота: H = (V0sinα)2/2g = (25·sin60°)2/2·9,8 = 31,25 м.
3. Дальность полета: L = 2V0sinαcosα/g = 2·25·sin60°·cos60°/9,8 = 25 м.
Рассмотренные формулы и закономерности используются в баллистике, позволяя решать прикладные задачи в военном деле, спорте и других областях.