Десятичные числа - неотъемлемая часть нашей повседневной жизни. Мы используем их повсюду: для подсчета денег, измерения расстояний, определения времени. Но что такое десятичные числа на самом деле и почему они стали настолько распространенными? Давайте разберемся!
Происхождение десятичной системы счисления
Историки, изучающие культуру древнего востока, обнаружили, что зарождение десятичной системы началось еще в Древнем Египте и Вавилоне. В Египте использовалась непозиционная десятичная система с единичным кодированием цифр от 1 до 1 000 000. А в Вавилоне внутри шестидесятеричных разрядов применялась тоже непозиционная десятичная запись.
Однако первые упоминания позиционной десятичной системы датируются 595 годом и были обнаружены в Индии. Именно там в то время активно использовался ноль как отдельная цифра. Эти записи со временем распространились по всему миру вместе с изобретением арабских цифр.
Устройство десятичной системы счисления
В основе десятичной системы лежит число 10. Для записи чисел используется 10 цифр: от 0 до 9. Выбор именно такого количества цифр неслучаен - по одной версии это связано с 10 пальцами на руках человека.
Один десятичный разряд называется децит и иногда декадой. Различают разряды единиц, десятков, сотен и так далее. Любое целое число можно записать в развернутом виде - как сумму произведений цифры на 10 в степени разряда. Например:
46758 = 5*100 + 8*101 + 7*102 + 6*103 + 4*104
Для записи дробных чисел используется десятичная запятая:
13,57 = 1*101 + 3*100 + 5*10-1 + 7*10-2
При хранении десятичных чисел в компьютерах применяется двоично-десятичное кодирование. Каждая десятичная цифра кодируется 4 двоичными разрядами.
Особенности арифметических операций
Выполнение арифметических операций над десятичными числами во многом напоминает "бумажные" вычисления, привычные нам еще со школы.
Рассмотрим для примера сложение двух одноразрядных чисел. Оно состоит из двух этапов:
- Сложение цифр текущего разряда по модулю 10
- Определение переноса в следующий разряд (0 или 1)
Аналогично устроено и умножение - только в нем задействованы два разряда: младший и старший.
Что касается деления десятичных чисел, то оно во многом схоже с делением обычных целых чисел, только при вычислениях необходимо учитывать положение запятой в делимом и делителе.
десятичное число = 46758
десятичное целое число = 5367
десятичные числа натуральные = 156
Перевод чисел в десятичную систему
Хотя десятичная система счисления является привычной для нас в повседневной жизни, в технике зачастую используются другие системы исчисления - двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Поэтому важно уметь переводить числа из этих систем в десятичную и обратно.
Алгоритм прямого перевода
Для перевода целого числа из двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системы в десятичную используется следующий алгоритм:
- Записать исходное число в развернутом виде, т.е. в виде суммы произведений цифр на основание системы счисления в степени разряда
- Перевести степени основания системы счисления в 10
- Перемножить цифры с полученными степенями десятки и сложить
Например, перевод двоичного числа 11011:
110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20
= 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 27
Обратный перевод чисел
Для перевода десятичного числа в другую систему счисления используется деление исходного числа на основание нужной системы с записью остатков от деления в обратном порядке.
Например, перевод десятичного 27 в двоичную систему:
27 / 2 = 13 ..... 1
13 / 2 = 6 ..... 1
6 / 2 = 3 ..... 0
3 / 2 = 1 ..... 1
1 / 2 = 0 ..... 1
Итого: 11011
Применение десятичных чисел
Благодаря простоте и удобству, десятичные числа получили широкое распространение в самых разных областях:
- Повседневные вычисления и измерения
- Представление данных в компьютерах и цифровых устройствах
- Денежные расчеты
- Научные вычисления
Особенно активно десятичные числа применяются в программировании, где используются для хранения числовых данных в переменных и работы с базами данных.
Достоинства и недостатки
Несмотря на широкую распространенность, у десятичной системы есть как достоинства, так и недостатки по сравнению с другими системами счисления.
Плюсы:
- Простота и наглядность вычислений
- Удобство для человека
- Стандартизация в большинстве сфер
Минусы:
- Неоптимальность представления в компьютерах
- Большее количество разрядов по сравнению с двоичной системой
Десятичные числа - привычный нам способ представления количественных значений с использованием десяти арабских цифр. Эта система счисления с основанием 10 имеет давнюю историю, берущую начало в Древней Индии и Древнем Египте. В данной статье мы разобрали особенности десятичных чисел, алгоритмы вычислений над ними.
