Касательные напряжения возникают в материале при действии сил, параллельных площадке сечения. Они играют важную роль при оценке сдвиговой прочности и деформаций материалов и конструкций.
Понятие касательного напряжения
Касательное напряжение - это составляющая полного напряжения в точке тела, действующая тангенсально (параллельно) к рассматриваемой площадке сечения.
Касательные напряжениявозникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.
В отличие от нормального напряжения, которое вызывает растяжение или сжатие материала, касательное напряжение приводит к сдвиговым деформациям.
- Обозначается греческой буквой тау - ταῦ - Тт
- Измеряется в Паскалях (Па) или единицах давления (Н/мм2)
- Может быть направлено по двум взаимоперпендикулярным плоскостям сечения
Возникновение касательных напряжений
Касательные напряжения возникают под действием сдвигающих сил, когда различные слои или частицы материала смещаются относительно друг друга параллельно рассматриваемой площадке сечения:
Величина касательного напряжения определяется по формуле:
(\tau = \frac{F}{A})
где:
- \(\tau\) - касательное напряжение
- F - сдвигающая сила
- A - площадь сечения, по которой действует сила
Расчет касательных напряжений при кручении
При кручении бруса возникают только касательные напряжения. Они распределены по поперечному сечению и достигают максимума на наружной поверхности.
Формула для расчета касательных напряжений при кручении:
(\tau_{max} = \frac{T ; r}{J})
где:
- T - крутящий момент
- r - радиус сечения
- J - полярный момент инерции сечения
Пример расчета. Для вала диаметром 50 мм, нагруженного крутящим моментом 30 кН·м, максимальные касательные напряжения составят:
\(T = 30\) кН·м
\(d = 50\) мм \(r = \frac{d}{2} = 25\) мм \(J = \frac{\pi \; d^4}{32} = \frac{\pi \cdot 50^4}{32} = 30531\) мм\textsuperscript{4}
Подставляем значения в формулу:
<(\tau_{max} = \frac{T ; r}{J} = \frac{30000 \cdot 25}{30531} = 24,6) МПа
Расчет касательных напряжений при изгибе
При поперечном изгибе балок и брусьев также возникают касательные напряжения. Они распределяются по высоте сечения по параболическому закону.
Максимальные касательные напряжения при изгибе вычисляются как:
(\tau_{max} = \frac{Q ; S}{I ; b})
где:
- Q - поперечная сила
- S - статический момент части сечения относительно нейтральной оси
- I - момент инерции сечения
- b - ширина сечения
Эпюры касательных напряжений
Распределение касательных напряжений по высоте поперечного сечения балки или бруса при изгибе наглядно представляют с помощью эпюр касательных напряжений.
На эпюре по оси ординат откладывают числовые значения \(\tau\), а по оси абсцисс - координаты точек сечения.
Из эпюры видно, что касательные напряжения изменяются по параболическому закону - от нуля в центре сечения до максимума в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах.
Учет касательных напряжений в расчетах
При расчетах на прочность элементов конструкций необходимо учитывать как нормальные, так и касательные напряжения. Их сравнивают с соответствующими допускаемыми значениями.
Допускаемые касательные напряжения
Допускаемые касательные напряжения \(\tau_{dop}\) для различных материалов принимают в несколько раз больше, чем нормальные \(\sigma_{dop}\). Это связано с тем, что материалы обладают меньшей сопротивляемостью сдвигу.
Например, для стали Ст3:
- \(\sigma_{dop} = 140\) МПа
- \(\tau_{dop} = 80\) МПа
То есть сдвиговая прочность примерно в 2 раза меньше прочности при растяжении-сжатии.
Эквивалентные напряжения
Чтобы учесть влияние одновременно нормальных и касательных напряжений, используют понятие интенсивности эквивалентных напряжений \(\sigma_{экв}\):
(\sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} )
Эквивалентные напряжения сравнивают с допускаемыми \(\sigma_{dop}\).
Рекомендации по учету касательных напряжений
Чтобы обеспечить надежность и долговечность конструкций, при их проектировании нужно грамотно подходить к вопросу учета касательных напряжений.
Прочность при сдвиге
Необходимо знать допускаемые касательные напряжения используемых материалов и не превышать их в расчетах. Для большинства конструкционных материалов сдвиговая прочность меньше прочности при растяжении/сжатии.
Опасные сечения
Особое внимание стоит уделить сечениям с максимальными касательными напряжениями - у краев балок, валах у плеч, в тонкостенных профилях.
Концентраторы напряжений
Наличие конструктивных концентраторов напряжений (отверстия, канавки, резкие переходы) может привести к резкому возрастанию касательных напряжений в локальной зоне и, как следствие, к преждевременному разрушению.
Динамические нагрузки
При наличии переменных или динамических нагрузок необходимо проводить проверки на выносливость по касательным напряжениям с учетом асимметрии цикла.
Касательные напряжения нужно обязательно учитывать в прочностных расчетах наряду с нормальными напряжениями. Это позволит избежать преждевременных отказов конструкций при сдвиге и обеспечит их надежность.
Выбор конструкционных материалов с учетом касательных напряжений
При выборе материалов для конструкций, работающих на сдвиг, стоит обращать внимание на следующие характеристики:
Предел прочности при сдвиге
Чем выше этот показатель у материала, тем большие касательные напряжения он может выдержать без разрушения. Например, композиты имеют высокие показатели сдвиговой прочности.
Модуль сдвига
Характеризует жесткость материала при сдвиговом деформировании. Чем выше значение модуля, тем меньшие сдвиговые деформации возникнут в материале под нагрузкой.
Вязкость разрушения
Показывает способность материала сопротивляться хрупкому разрушению под действием касательных напряжений. Это важно для ответственных деталей и конструкций.
Конструктивные методы снижения касательных напряжений
Рассмотрим способы конструирования, позволяющие уменьшить уровень касательных напряжений в деталях и соединениях:
- Применение радиусных переходов в опасных сечениях
- Использование ребер жесткости для увеличения момента сопротивления сечения сдвигу
- Утолщение стенок балок, распорок в зонах с концентрацией напряжений
