Описанная окружность – удивительное геометрическое понятие, имеющее множество полезных свойств и применений в реальной жизни. Давайте разберемся, что такое описанная окружность, каковы ее свойства и особенности построения, а также где она может пригодиться на практике.
Основные понятия
Итак, описанная окружность – это окружность, описанная вокруг какой-либо геометрической фигуры, то есть проходящая через все вершины этой фигуры. Чаще всего речь идет об окружности, описанной вокруг многоугольника.
Окружность, описанная около треугольника, – это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.
Описанная окружность имеет важное свойство: ее центр всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Это позволяет довольно просто находить центр такой окружности.
Свойства описанной окружности
Описанная окружность обладает некоторыми общими свойствами, справедливыми для любого многоугольника:
- Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника
- Через любую вершину многоугольника можно провести касательную к описанной окружности
- Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины многоугольника равно радиусу этой окружности
Если речь идет об описанной окружности треугольника, то для нее справедливы дополнительные утверждения:
- В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри фигуры
- В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне фигуры
- В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы
Для вычисления радиуса описанной окружности часто используется формула, вытекающая из теоремы синусов:
где R – искомый радиус, а – сторона треугольника, α – противолежащий стороне а угол.
Построение описанной окружности
Построение описанной окружности вокруг заданного многоугольника состоит из следующих шагов:
- Находим середины всех сторон многоугольника
- Восстанавливаем серединные перпендикуляры ко всем сторонам многоугольника
- Находим точку пересечения серединных перпендикуляров – это и есть центр искомой описанной окружности
- Проводим окружность заданного радиуса с найденным центром
| Для треугольника проще: |
|
Таким образом, алгоритм построения упрощается, если речь идет о треугольнике или четырехугольнике. Для них достаточно 2-3 серединных перпендикуляров.
Применение описанной окружности
Итак, мы разобрались, что собой представляет описанная окружность, каковы ее свойства и особенности построения. Но может возникнуть резонный вопрос: а где в жизни пригодится это понятие? Оказывается, описанные окружности находят широкое применение в самых разных областях!
В архитектуре и строительстве описанные окружности помогают решать задачи разметки и оптимальной планировки. В технике они применяются при проектировании механизмов, например рычажных или зубчатых.
Описанная окружность также нашла отражение в искусстве – ее свойства часто использовались при создании витражей, мозаик, орнаментов. А в древние времена знания об описанной окружности помогали строить храмы и другие культовые сооружения!
Конечно, самое распространенное применение описанной окружности – это решение математических и геометрических задач. Знание свойств такой окружности, умение вычислять ее параметры или строить по заданным условиям – все это очень пригодится для успешного решения разнообразных заданий по геометрии.
Описанная окружность четырехугольника
Рассмотрим более подробно свойства описанной окружности около четырехугольника. Во-первых, ее центр также находится в точке пересечения двух серединных перпендикуляров. Например, для прямоугольника достаточно построить перпендикуляры к двум смежным сторонам.
Во-вторых, для четырехугольника справедливо утверждение: если диагонали четырехугольника равны, то его можно вписать в окружность. И наоборот – если около четырехугольника описана окружность, значит его диагонали равны.
Вычисление площади
Описанную окружность можно использовать для вычисления площади многоугольника. Известно, что площадь круга равна πR2. Но радиус описанной многоугольника окружности – это расстояние от ее центра до любой вершины многоугольника.
Следовательно, зная координаты вершин многоугольника и координаты центра его описанной окружности, можно легко найти радиус R и вычислить площадь.
Описанная окружность в природе
Удивительно, но свойства описанной окружности проявляются и в живой природе! Например, ульи или соты пчелиных сот имеют форму правильных шестиугольников, что позволяет максимально эффективно использовать пространство для хранения меда и расплода.
А если внимательно рассмотреть картинку спирали нашей галактики Млечный Путь, можно заметить, что она также напоминает дуги концентрических окружностей с общим центром!
Обратная теорема
Существует интересная обратная теорема: если окружность проходит через середину одной из сторон треугольника и через концы другой стороны, то ее центр лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к третьей стороне.
Это утверждение помогает определять положение серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, если известно положение некоторой окружности относительно его вершин и сторон.
Занимательные задачи
В заключение приведем пару любопытных задач на построение описанной окружности:
- Постройте окружность, проходящую через точку пересечения медиан треугольника и середины двух его сторон
- Весьма необычно выглядит окружность, описанная около правильного треугольника, у которого отсечены все три вершины. Попробуйте ее построить!
