Запись чисел в стандартном виде - это удобный способ работы с очень большими и очень маленькими числами, с которыми часто приходится сталкиваться в естественных науках. Давайте разберемся, что это такое, зачем это нужно и как правильно записывать числа в стандартном виде.
Определение стандартного вида числа
Стандартный вид числа - это запись числа в виде произведения двух множителей:
- Первый множитель (мантисса) - число от 1 до 10 (не включая 10)
- Второй множитель - степень числа 10 с целым показателем (порядок)
Например, число 5600 можно записать в стандартном виде так:
5600 =5,6·103
Здесь 5,6 - мантисса, а 3 - порядок числа.
Как записать число в стандартном виде
Чтобы записать число в стандартном виде, нужно:
- Разделить исходное число на степень 10 так, чтобы в числителе получилось число от 1 до 10
- Умножить результат на ту же степень 10
Например, запишем число 571000 в стандартном виде:
- 571000 : 10000 = 57,1
- 57,1 · 10000 = 571000
Получаем: 571000 = 57,1 · 105
Здесь 57,1 - мантисса, 5 - порядок числа.
Примеры записи разных чисел в стандартном виде
Рассмотрим несколько примеров записи чисел в стандартном виде.
Пример 1
Запишем число 86400 в стандартном виде:
- 86400 : 100000 = 0,864
- 0,864 · 100000 = 86400
Ответ: 86400 = 0,864 · 105
Пример 2
Запишем число 0,000000371 в стандартном виде:
- 0,000000371 · 10000000 = 3,71
- 3,71 · 0,0000001 = 0,000000371
Ответ: 0,000000371 = 3,71 · 10-7
Пример 3
Запишем число 10 в стандартном виде:
- 10 · 1 = 10
- 10 · 100 = 10
Ответ: 10 = 1 · 101
Вычисления со стандартными числами
Когда числа записаны в стандартном виде, над ними можно выполнять обычные математические операции. Рассмотрим основные правила.
Сложение и вычитание
Чтобы сложить или вычесть стандартные числа, нужно:
- Привести числа к одинаковому порядку (при необходимости)
- Сложить или вычесть мантиссы
- Порядок оставить без изменений
Например:
3,2·104 + 5·103 = 3,2·104 + 0,5·104 = (3,2 + 0,5)·104 = 3,7·104
Умножение и деление
При умножении и делении стандартных чисел:
- Мантиссы перемножаются (делятся)
- Порядки складываются (вычитаются)
Например:
1,5·103 · 2·10-5 = 1,5·2 · 103-(-5) = 3·10-2
Примеры вычислений со стандартными числами
Рассмотрим несколько примеров вычислений с числами, записанными в стандартном виде.
Пример 1
6,7·104 + 3,52·105
Решение: 6,7·104 + 352·103 = (6,7 + 352)·104 = 358,7·104
Пример 2
6,33·10-5 : 2,1·10-7
Решение: 6,33 : 2,1 · 10-5-(-7) = 3,01·102
Запишите в стандартном виде следующие числа
Рассмотрим еще несколько примеров на запись разных чисел в стандартном виде:
Пример 3
Записать в стандартном виде число 0,00000098.
Решение: 0,00000098 · 100 000 000 = 9,8 9,8 · 0,00000001 = 0,00000098 Ответ: 0,00000098 = 9,8·10-8
Пример 4
Что значит записать число 650 000 000 в стандартном виде?
Записать в стандартном виде — это представить число как произведение двух множителей. Для числа 650 000 000 эта запись будет такой: 650 000 000 = 6,5·108
Сравнение стандартных чисел
Чтобы сравнить два числа, записанных в стандартном виде, нужно сравнивать:
- Порядки чисел
- При равных порядках — мантиссы
Правила сравнения такие:
- Если у числа порядок больше, то и само число больше
- Если порядки равны, то то число, у которого мантисса больше, является большим числом
Пример сравнения
Сравним числа: 3,2·103 и 2,71·103
- Порядки чисел равны: 3
- Сравниваем мантиссы: 3,2 и 2,71
- 3,2 больше 2,71
Значит, число 3,2·103 больше числа 2,71·103
Применение стандартных чисел на практике
Запись чисел в стандартном виде часто применяется на практике при решении задач в разных областях. Рассмотрим основные примеры.
Стандартные числа в физике
В физических формулах и задачах приходится оперировать очень большими и очень малыми числами. Например, масса электрона составляет 9,1·10-31 кг. Запись в стандартном виде позволяет легко производить вычисления с такими значениями.
Стандартные числа в химии
В химии также используются малые и большие числа, например постоянная Авогадро 6,02·1023 моль-1. Запись в стандартном виде упрощает вычисления с этими константами.
Стандартные числа в других областях
Помимо физики и химии, стандартные числа применяются в математике, информатике, биологии и других точных науках. Это позволяет записывать и сравнивать очень большие и очень малые числа, выполнять вычисления с ними.
Примеры задач со стандартными числами
Рассмотрим несколько примеров задач из разных областей, где используются стандартные числа.
Задача 1. Физика
Скорость света в вакууме составляет 2,99792458·108 м/с. Вычислите время, за которое свет пройдет расстояние 150 миллионов километров, если скорость света записана в стандартном виде.
Решение: Расстояние запишем как 1,5·108 км. Время = путь / скорость t = 1,5·108 км / 2,99792458·108 м/с Подставляя стандартные числа, получаем: t = (1,5 / 2,99792458) · 100 с = 5,002564103·10-1 с
Задача 2. Химия
Масса одного атома углерода составляет 1,993·10-26 кг. Вычислите количество атомов углерода в 100 г этого элемента, если масса атома выражена в стандартном виде.
Решение: Масса 100 г С - это 10-1 кг. Число атомов N = m / m0 Где m - масса вещества в кг, m0 - масса одного атома. Подставляя значения, получаем: N = 10-1 кг / 1,993·10-26 кг = 5,015·1024 атомов
Как видно из примеров, запись стандартными числами значительно упрощает вычисления.
