Системы неравенств часто вызывают затруднения у школьников. Кажется, что такие задачи невозможно решить самостоятельно без репетитора. На самом деле, зная несколько простых приемов, справиться с ними под силу каждому.
Что такое система неравенств и как ее записывают
Системой неравенств называют несколько неравенств, решением которых являются одни и те же значения переменной. Например:
- x > 3
- x < 5
Здесь решением обоих неравенств будет промежуток (3; 5). Такие системы записывают в фигурных скобках:
{x > 3, x < 5}
Нередко систему путают с совокупностью неравенств. Но если решения неравенств не пересекаются, то системы не получится:
{x > 5, x < 3}
Так как не существует числа, которое одновременно больше 5 и меньше 3.
Как решать простые системы неравенств из двух уравнений
Чтобы решить систему из двух неравенств, действуем по следующему алгоритму:
- Решаем каждое неравенство в отдельности
- Изображаем решения на числовой прямой
- Находим общий для обоих неравенств промежуток значений
Рассмотрим на примере:
{x ≥ 6, x ≤ 11}
Первое неравенство имеет решение x ≥ 6, второе неравенство — x ≤ 11. Изобразим эти решения на числовой прямой:
Видим, что оба неравенства выполняются на промежутке [6; 11]. Этот промежуток и будет ответом.
Бывают системы, где одно из неравенств либо не имеет решений, либо верно при любых значениях переменной. Например:
{x > 5, x < 3}
Здесь нет пересечений решений неравенств, поэтому система не имеет решений.
А в системе:
{x > 1, x < ∞}
Второе неравенство верно всегда. Поэтому решением будет первое неравенство x > 1.
Системы неравенств на координатной прямой: как решать графически
Графический метод удобен тем, что наглядно показывает решение системы. Чтобы его применить:
- Решаем каждое неравенство в отдельности
- Отмечаем решения на оси, используя скобки
- Находим на оси общий для неравенств промежуток
Рассмотрим систему:
{2x + 1 > 7, x – 4 < 5}
Сначала решаем каждое неравенство по отдельности. Для первого получаем: x > 3. Для второго: x < 9.
Теперь отмечаем решения на оси. Для первого неравенства открытую скобку ставим в точке 3, так как 3 не входит в решение. Для второго закрытую скобку ставим в 9, поскольку 9 входит в решение:
Изображение наглядно показывает, что система имеет решение в интервале (3; 9).
Особые случаи в системах неравенств и как с ними справляться
Бывают системы неравенств, в которых присутствуют не только линейные выражения, но и дроби, радикалы, модули. Например:
{(3x - 1)/2 ≥ 5, √(x + 4) < 3}
Чтобы решить такую систему, нужно выполнить следующие шаги:
- Решить каждое неравенство в отдельности, применив необходимые преобразования
- Найти наименьший (или наибольший) общий корень
- Записать ответ в виде двойного неравенства или числового промежутка
Для приведенного выше примера получим решение (1; 4).
Решение систем неравенств с двумя неизвестными и переменными
Если в системе неравенств присутствует две переменные, то такие системы называются системами с двумя неизвестными. Например:
{x + y < 5, 2x – y ≥ 0}
Существует два способа решения таких систем:
- Аналитический метод с использованием неравенств
- Графический метод с построением областей на плоскости
Первый метод подходит, если система не слишком громоздкая. Второй - удобен для наглядного представления решения.
Примеры решения систем неравенств из ЕГЭ и ОГЭ
В экзаменационных заданиях часто встречаются системы неравенств повышенной сложности. Рассмотрим пример из варианта ЕГЭ:
{2x2 + x > 6, (x – 1)(x + 2) < 0}
Сначала решаем каждое неравенство по отдельности. Для первого получаем решение x ∈ (-∞; -2)∪(2; +∞). Для второго неравенства находим решения системы неравенств. Примеры x ∈ (-∞; -2) и x ∈ (1; +∞).
Область пересечения этих решений – промежутки x ∈ (-∞; -2) и x ∈ (2; +∞).
Советы: как быстрее научиться решать сложные системы неравенств
Чтобы легче справляться с решением систем неравенств, придерживайтесь следующих правил:
- Решайте сначала каждое неравенство по отдельности
- Изображайте решения на числовой прямой при возможности
- Обозначайте наименьший и наибольший корень
- Проверяйте ответ, подставляя граничные значения
- Тренируйтесь на простых примерах перед сложными задачами
Для систем с двумя неизвестными также полезно представлять решения графически, чтобы лучше визуализировать область пересечения.
Типичные ошибки при решении систем неравенств и как их избежать
При решении систем неравенств ученики часто допускают следующие типичные ошибки:
- Не решают каждое неравенство по отдельности
- Неправильно изображают решения на числовой прямой
- Путают знаки неравенства при преобразованиях
- Не проверяют ответ
- Не указывают область определения при записи ответа
Чтобы избежать этих ошибок, нужно:
- Строго следовать алгоритму решения системы
- Аккуратно выполнять все преобразования
- Обозначать решения на числовой прямой по правилам
- Обязательно проверять ответ
- Указывать область определения переменной при записи ответа
Примеры решения разных типов систем неравенств по темам
Рассмотрим примеры решения различных систем неравенств в зависимости от типа выражений и класса.
Системы неравенств с целыми числами и дробями
Пример системы из дробных неравенств для 8 класса:
{(3x + 1)/5 > 2, (2x - 1)/4 ≤ -2}
Сначала приводим дроби к общему знаменателю, решаем каждое неравенство, находим общий промежуток решений x ∈ (-∞; -3).
Системы неравенств с радикалами и модулями
Пример системы с радикалами для 10 класса:
{√(x + 5) ≥ 3, |2x - 1| < 4}
Выносим радикал, решаем модульное неравенство с двух сторон, находим ответ x ∈ [1; 4).
Онлайн-решатели систем неравенств
Для ускорения решения систем неравенств можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и приложения. Рассмотрим лучшие из них.
Онлайн-калькуляторы для решения систем неравенств
Существует множество удобных онлайн-калькуляторов, позволяющих быстро решать системы неравенств. Рассмотрим самые популярные из них.
Calc.ru
Этот калькулятор может решать системы как с одной, так и с двумя переменными. Достаточно ввести неравенства в специальное поле и нажать кнопку "Решить". Решение выдается мгновенно.
Web2Solve
Еще один удобный онлайн-решатель систем неравенств. Поддерживает не только линейные неравенства, но и квадратные, дробные, с модулями. Можно вводить системы до 5 неравенств.
Math24
На этом сервисе доступно решение систем неравенств с пошаговым решением. Удобно для изучения алгоритма и визуального представления всех промежуточных преобразований.
Приложения для решения на телефоне
Системы неравенств можно решать не только на компьютере, но и на смартфоне или планшете с помощью специальных приложений.
Math Solver
Это приложение имеет удобный интерфейс для ввода и решения различных математических задач, в том числе систем неравенств. Бесплатная версия вполне достаточна для решения школьных примеров.
Photomath
Это приложение умеет решать математические задачи, распознав их фотографию. Достаточно сфотографировать систему неравенств в тетради или учебнике - и Photomath моментально решит ее, показав все шаги.
Как выбрать инструмент для решения
Для простых систем удобнее использовать онлайн-калькуляторы - они работают быстрее приложений. Но если нужен разбор решения по шагам, лучше выбрать мобильные приложения.
Советы: как быстрее научиться решать сложные системы неравенств
Чтобы быстрее освоить навыки решения систем неравенств, рекомендуем использовать следующие полезные советы:
Начинайте с простого
Не стоит сразу браться за самые сложные примеры. Потренируйтесь сначала на простых системах из 2-3 линейных неравенств. Когда освоите базу, переходите к более сложным случаям.
Используйте графические методы
Изображение решений систем неравенств на числовой прямой или координатной плоскости в случае 2 переменных значительно упрощает нахождение ответа. Старайтесь применять графические методы как можно чаще.
Обозначайте границы решений
При изображении решений на числовой прямой обязательно обозначайте круглыми и квадратными скобками является ли граничное число решением или нет. Это позволит избежать ошибок.
Проверяйте ответ
После того как решили систему неравенств, непременно проверяйте полученный ответ. Подставляйте граничные значения решения в исходные неравенства системы, чтобы убедиться, что они выполняются.
Анализируйте ошибки
Если вы все же допустили ошибку в решении, проанализируйте ее и запомните, в чем была проблема. Это поможет в дальнейшем не повторять аналогичные ошибки.
