Признак делимости на 8 с примерами: как на практике определить делимость числа на восемь

Признак делимости на 8 - удобный инструмент для быстрой проверки чисел. В статье мы подробно разберем его формулировку, приведем примеры и доказательство. Узнаете, как применять правило делимости на 8 в разных ситуациях.

Формулировка признака делимости на 8

Признак делимости на 8 гласит: число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, составленное из его трех последних цифр, также делится на 8. Иначе говоря, чтобы определить, делится ли число на 8, достаточно посмотреть на его последние три цифры.

Это правило применимо только к числам, имеющим не менее трех цифр в записи. Для одно- и двузначных чисел нужно проверять делимость на 8 непосредственным делением.

Рассмотрим пример использования признак делимости на 8. Определим, делится ли число 58296 на 8. Видим, что последние три цифры этого числа - 296. Делим 296 на 8: 296/8 = 37. Значит, 296 делится на 8 без остатка. Следовательно, согласно признаку, и число 58296 тоже делится на 8.

Если среди последних трех цифр есть нули, их можно опустить. Например, для числа 9200072 рассматриваем последние не нулевые цифры 072, делим 72 на 8 и видим, что число делится на 8.

Примеры использования признака делимости на 8

Рассмотрим несколько примеров применения <признак делимости на 8> на практике.

1. Определить, делится ли число 1254862245 на 8.

   Последние три цифры - 245. Делим 245 на 8: 245/8 = 30 с остатком 5. Значит, 245 на 8 не делится. Следовательно, и число 1254862245 тоже не делится на 8 без остатка.

2. Определить, какие из чисел 900 007, 210 008, 111 008 делятся на 8.

   900 007 -> последние не нулевые цифры 007 -> 7. Число 7 не делится на 8.
   210 008 -> последние не нулевые цифры 008 -> 8. Число 8 делится на 8. 111 008 -> последние не нулевые цифры 008 -> 8. Число 8 делится на 8.

   Итого, 210 008 и 111 008 делятся на 8, а 900 007 не делится.

3. Является ли кратным 8 выражение n⁵ + 7n³ при любом целом n?

   Выражение можно разложить на множители: n⁵ + 7n³ = n³(n² + 7). При n=8k (т.е. кратном 8) получаем: 8³k³(k² + 7), где в скобках - натуральное число при любом k. Так как есть множитель 8³, делящийся на 8, то все выражение делится на 8. Значит, оно кратно 8 при любом целом значении n.

Таким образом, используя признак делимости на 8, можно эффективно определять делимость на 8 различных целых чисел и выражений.

Доказательство признака делимости на 8

Чтобы доказать справедливость признака делимости на 8, воспользуемся следующим представлением натурального числа a, имеющего не менее 4 цифр в записи:

a = 1000a₁ + a₀

Здесь a₁ - число, получаемое из a удалением последних трех цифр, a₀ - число, составленное из последних трех цифр числа a.

Например, число 123456 = 1000(123) + 456.

Проведем доказательство от противного. Пусть число a делится на 8, но число a₀, составленное из последних трех цифр, не делится на 8. Тогда:

1000a₁ делится на 8 (так как 1000 делится на 8) Но a₀ не делится на 8 Следовательно, их сумма 1000a₁ + a₀ = a не может делиться на 8 - противоречие!

Аналогично доказывается, что если a₀ делится на 8, то и число a тоже делится на 8.

Этим доказана справедливость формулировки признак делимости на 8 для натуральных чисел, а затем по свойствам делимости распространяется на целые числа.

Определение делимости выражений на 8

Помимо отдельных чисел, часто требуется определить, делится ли на 8 значение некоторого выражения при заданных значениях переменных. Рассмотрим несколько подходов к этой задаче.

Использование бинома Ньютона

Если в выражении присутствует степень суммы, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона для разложения на множители. Например, пусть дано выражение:

9ⁿ + 16ⁿ - 9

Представим 9 в виде 8 + 1 и применим бином Ньютона:

9ⁿ = (8 + 1)ⁿ = 8ⁿ + n8^n-1 + ... + 1

Подставляя это разложение в исходное выражение, получаем сумму, где один из членов делится на 8. Значит, все выражение делится на 8 при любом натуральном n.

Разложение выражения на множители

Другой подход - представить выражение в виде произведения множителей. Например, дано:

n⁵ + 7n³

Разложим его: n⁵ + 7n³ = n³(n² + 7)

Если теперь взять n кратным 8, то получится выражение вида:

8³k³(k² + 7)

Где k - некоторое целое число. Такое произведение делится на 8, поскольку содержит множитель 8³. Значит, исходное выражение тоже делится на 8 при любом целом n.

Метод математической индукции

Еще один способ доказательства - использование принципа математической индукции. Покажем это на примере того же выражения 9ⁿ + 16ⁿ - 9.

1. При n = 1 выражение дает 16, что делится на 8 - база индукции.
2. Предположим, выражение делится на 8 при некотором n = k.
3. Докажем, что тогда оно делится и при n = k+1. Получаем:

   9^k+1 + 16^k+1 - 9 = 9(9^k + 16^k - 9) + 8(16^k - 11)

4. Здесь каждое слагаемое делится на 8 по предположению индукции. Значит, вся сумма тоже делится на 8.

Этим завершено доказательство делимости выражения на 8 при любом натуральном n.

Применение признака делимости на 8 на практике

Рассмотрим несколько практически полезных применений признака делимости на 8.

Поиск ошибок при вычислениях

Если при выполнении вычислений получился неверный ответ, признак делимости на 8 поможет быстро это обнаружить. Например, если в результате умножения получилось число, не кратное 8, хотя оба множителя кратны 8 - явно где-то допущена ошибка.

Решение олимпиадных задач

В задачах на делимость часто требуется доказать, что некоторое выражение делится на 8 при любых значениях переменной. Признак делимости на 8 позволяет это элегантно сделать.

Оптимизация вычислений

Если требуется вычислить значение громоздкого выражения с большим количеством операций, признак делимости поможет сократить объем работы. Достаточно найти остаток от деления на 8 - не обязательно находить точное значение.