Кубические уравнения - важный класс математических уравнений с широким применением в науке и технике. Увлекательная история открытия формул для их решения, интриги и споры ученых за право авторства. Как найти все корни кубического уравнения с помощью знаменитых формул Кардано?
Постановка задачи
Кубическими называются алгебраические уравнения вида:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
где a, b, c, d — заданные числа, а x — искомая переменная. Такие уравнения часто возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и других процессов и явлений.
- В физике кубические уравнения описывают поведение газов, движение тел в вязкой среде.
- В химии с их помощью моделируют кинетику химических реакций, равновесие в растворах.
- В экономике кубические модели используются в теории предельной полезности, при оценке инвестиционной привлекательности проектов.
Задача состоит в том, чтобы для произвольного кубического уравнения с действительными коэффициентами найти все три его корня (с учетом кратных) в виде формул, выражающих корни через коэффициенты уравнения.
Краткая предыстория
Первые известные попытки решить кубические уравнения относятся к Средним векам. Ученые того времени смогли с помощью геометрических построений находить положительные решения некоторых частных случаев таких уравнений. Однако общий метод решения произвольного кубического уравнения долгое время оставался неизвестным.
Около 1530 года итальянский математик Никколо Тарталья (1499-1557) заявил, что открыл метод решения любых кубических уравнений. Однако он хранил свой метод в строгом секрете, сообщив лишь некоторые результаты.
В 1539 году Тарталья поделился частью своего открытия с другим итальянским ученым Джероламо Кардано (1501-1576) с условием сохранения тайны. Однако спустя 6 лет, в 1545 году Кардано опубликовал в своей книге "Великое искусство" метод решения кубических уравнений, ныне носящий его имя.
Это вызвало скандал и обвинения Кардано в плагиате со стороны Тартальи, что привело к многолетней вражде ученых. С тех пор ведутся споры о том, кто же первооткрыватель метода - Тарталья, Кардано или может быть даже Сципион дель Ферро, у которого, возможно, позаимствовал его Тарталья.
Приведение уравнения к каноническому виду
Итак, задано произвольное кубическое уравнение:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Чтобы применить для его решения формулы Кардано, необходимо сначала привести это уравнение к более простому каноническому виду:
y3 + py + q = 0
в котором отсутствует член со второй степенью переменной. Для этого выполним следующие преобразования:
- Разделим все члены исходного уравнения на ведущий коэффициент a:
- Заменим переменную x на y с помощью формулы:
x = y - \frac{b}{3a}
- В результате подстановки этого выражения для x в преобразованное уравнение получим каноническое кубическое уравнение относительно переменной y.
В итоге коэффициенты p и q канонического уравнения будут выражаться через коэффициенты исходного уравнения следующим образом:
| p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} | q = \frac{d}{a} + \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} |
Далее решать уже приведенное каноническому виду уравнение с помощью формул Кардано.
Решение канонического уравнения методом Тартальи
Итак, теперь задано каноническое кубическое уравнение:
y3 + py + q = 0
Согласно методу, предложенному Тартальей, будем искать его решение в виде:
y = t - \frac{p}{3t}
где t - новая переменная. Подставляя это выражение для y в исходное уравнение и выполняя преобразования, придем к квадратному уравнению:
t^2 + \frac{q}{t} = 0
решение которого даст значения переменной t, а затем по приведенной формуле и значения искомой переменной y, являющиеся корнями кубического уравнения.
Решая полученное квадратное уравнение, находим:
t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}
t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}
Подставляя найденные значения t в формулу для переменной y, получаем формулы Кардано, дающие решение исходного кубического уравнения:
y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}}
y_2 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}}
Заметим, что на самом деле эти два выражения для корня y дают одно и то же значение. Поэтому формулу Кардано можно записать в более простом виде:
y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}}
где \Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}. Подставляя найденное по этой формуле значение y в формулу замены исходной переменной x = y - \frac{b}{3a}, получим решение для переменной x, т.е. корень исходного кубического уравнения.
Анализ действительности корней
Полученная формула Кардано дает решение кубического уравнения в общем виде. Однако на практике часто требуется определить, являются ли найденные по ней корни действительными числами или они комплексные.
Для этого необходимо проанализировать знак величины:
\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}
Если \Delta > 0, то подкоренное выражение в формуле Кардано положительно и, следовательно, корни действительны. Рассмотрим этот случай подробнее.
Случай положительного дискриминанта
При \Delta > 0 обозначим через \alpha и \beta действительные кубические корни из выражений:
\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}
\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}
Тогда формула Кардано даст три действительных корня исходного уравнения:
x_1 = \alpha - \frac{p}{3\alpha}
x_2 = \omega\alpha - \frac{p}{3\omega\alpha}
x_3 = \omega^2\alpha - \frac{p}{3\omega^2\alpha}
где \omega = e^{2\pi i / 3} - кубический корень из единицы.
Случай отрицательного дискриминанта
Если же \Delta < 0, то выражение под корнем в формуле Кардано отрицательно. В этом случае \alpha и \beta будут комплексно сопряженными кубическими корнями.
Тем не менее, подставляя их в формулу Кардано, можно получить три действительных решения исходного кубического уравнения. Для этого значения \alpha и \beta должны удовлетворять соотношению:
\alpha\beta = -\frac{q}{3}
Особенности кратных корней
Рассмотренный метод решения справедлив и для случая, когда кубическое уравнение имеет кратные корни. Однако для таких ситуаций существуют упрощенные модификации формулы Кардано.
Например, если уравнение имеет два кратных корня, то \Delta = 0. В этом случае решение записывается проще:
x_1 = x_2 = -\frac{p}{3}
x_3 = \sqrt[3]{-\frac{q^2}{2} - \frac{p^3}{27}} - \frac{p}{3}
А если все три корня кратные, то \Delta < 0 и p = q = 0. Тогда единственным корнем является 0.
Программная реализация
Рассмотренный алгоритм решения кубических уравнений по формуле Кардано можно запрограммировать на любом языке программирования. Для этого составим блок-схему вычислений:
- Ввод исходных коэффициентов a, b, c, d
- Нахождение коэффициентов p и q канонического уравнения
- Вычисление дискриминанта \Delta
- Анализ знака \Delta и выбор соответствующей формулы Кардано
- Подстановка найденных корней канонического уравнения в формулу замены переменной
- Возврат полученных корней исходного уравнения
Реализация этого алгоритма на языке Python может выглядеть так:
Историческая справедливость
Несмотря на то, что рассмотренный метод решения кубических уравнений традиционно называют "формулой Кардано", с исторической точки зрения это название не совсем справедливо.
Во-первых, сама идея замены переменной, позволившая свести кубическое уравнение к квадратному, принадлежит Никколо Тарталье. Именно он придумал хитроумный способ "ограбить куб с помощью квадрата".
По словам Джероламо Кардано, он лишь удачно "подсмотрел" этот метод у Тартальи.
Во-вторых, предшественниками Кардано в попытках решить кубические уравнения были и другие математики.
Предшественники Кардано
Еще в начале XVI века итальянский математик Сципион дель Ферро смог решать некоторые частные случаи кубических уравнений. Возможно, именно его записи и послужили для Тартальи отправной точкой в открытии общего метода.
Арабский математик Аль-Каши еще в XV веке использовал для приближенного решения кубических уравнений итерационные методы, близкие по идее к современному методу Ньютона.
Приоритет Кардано
Бесспорная заслуга Кардано состоит в том, что:
- Он сумел разгадать секретный метод Тартальи и довести его до универсального алгоритма, годного для любых кубических уравнений.
- Он впервые опубликовал этот метод, изложив его в доступной для понимания форме формул.
- Он проанализировал особенности получаемых решений в зависимости от знака дискриминанта.
Поэтому ученые считают, что наиболее правильно было бы называть этот метод решения кубических уравнений методом Тартальи-Кардано. Но в разговорной речи чаще используют термин "формулы Кардано".
