Геометрия изучает формы и размеры реальных объектов. Одной из важных задач является нахождение площадей различных поверхностей. В этой статье речь пойдет о вычислении площади боковой поверхности цилиндра - распространенной геометрической фигуры.
Цилиндр: определение, элементы, виды
Цилиндр - это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными основаниям.
Основными элементами цилиндра являются:
- Основания - два параллельных основания, являющиеся геометрическими фигурами (чаще всего окружностями)
- Образующие - отрезки, соединяющие точки оснований
- Высота - расстояние между основаниями, длина образующей
Различают несколько видов цилиндров:
- Прямой цилиндр - образующие перпендикулярны основанию
- Наклонный цилиндр - образующие наклонны к основанию
- Косой цилиндр - оси оснований не лежат на одной прямой
В быту цилиндрическую форму имеют банки, бутылки, стаканы и многие другие предметы.
Формула для нахождения площади боковой поверхности цилиндра
Боковой поверхностью цилиндра называют цилиндрическую поверхность, соединяющую его основания.
Чтобы найти формулу, воспользуемся разверткой цилиндра. Представим, что делаем надрез вдоль образующей и разворачиваем боковую поверхность - получится прямоугольник. Его площадь равна произведению сторон - высоты цилиндра h и длины окружности основания 2πr:
Таким образом, формула площади боковой поверхности цилиндра имеет вид:
Сбок = 2πrh
где:
- Сбок - площадь боковой поверхности
- r - радиус основания
- h - высота цилиндра
Для прямого кругового цилиндра вычисление по этой формуле не вызовет затруднений. А в случае наклонного или косого цилиндра нужно определить параметры его правильного сечения, перпендикулярного образующим.
В отличие от формулы площади боковой поверхности, для вычисления полной площади поверхности цилиндра нужно будет учесть еще и площади оснований.
Примеры решения задач на нахождение площади боковой поверхности цилиндра
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение формулы на практике.
-
Дан прямой круговой цилиндр с радиусом основания 4 см и высотой 12 см. Найдите площадь боковой поверхности этого цилиндра.
Решение:
Подставляем данные в формулу:
Сбок = 2πrh = 2π*4*12 = 96π (см2)
Ответ: площадь боковой поверхности равна 96π см2.
-
Наклонный цилиндр имеет высоту 5 дм, а его основание - эллипс с большой осью 8 дм и малой осью 6 дм. Найдите приближенное значение площади боковой поверхности такого цилиндра.
Решение:
Воспользуемся формулой площади боковой поверхности цилиндра и приближенной формулой для периметра эллипса:
Сбок ≈ 2πrh,
где r = (a + b) / 2 - средний радиус эллипса.
Подставляем значения: r = (8 + 6) / 2 = 7 (дм), h = 5 (дм).
Сбок ≈ 2π*7*5 = 220 (дм2)
Приближенное значение площади боковой поверхности равно 220 дм2.
Как видно из примеров, для решения задач нужно четко представлять вид цилиндра, знать формулы и уметь подставлять данные. При решении сложных задач требуется использование дополнительных формул и математических приемов.
Далее будут разобраны практические применения знания формул площадей цилиндра в реальных задачах из разных областей.
Пример расчета площади для покрытия цилиндрической поверхности
Рассмотрим пример, когда знание формулы площади боковой поверхности цилиндра применяется на практике.
Необходимо покрыть стальным листом боковую поверхность цилиндрической емкости. Диаметр емкости равен 1,5 м, а высота - 2 м. Определим, какой площади должен быть стальной лист.
Дано:
- Диаметр цилиндра d = 1,5 м
- Высота цилиндра h = 2 м
Найдем радиус основания цилиндра: r = d / 2 = 1,5 / 2 = 0,75 м
Подставим значения радиуса и высоты в формулу площади боковой поверхности:
Сбок = 2πrh = 2π*0,75*2 = 9π м2
Значит, площадь стального листа должна быть не меньше 9π м2.
Применение формул площади в строительстве
При возведении цилиндрических резервуаров, башен, труб знание соответствующих формул позволяет рассчитать нужное количество строительных и отделочных материалов.
Например, для внутренней отделки бетонной водонапорной башни, имеющей форму цилиндра диаметром 6 м и высотой 10 м, можно определить требуемую площадь облицовочной плитки:
Сбок = 2πrh = 2π*3*10 = 60π м2
Так можно подсчитать необходимое количество любого материала для внутреннего или внешнего покрытия цилиндрических конструкций.
Площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра
Иногда возникают более сложные задачи, связанные с комбинацией различных геометрических тел. Рассмотрим один из таких случаев.
Пусть есть цилиндр, высота которого равна радиусу. Этот цилиндр описан около правильной треугольной призмы с ребром основания, равным радиусу цилиндра. Как найти площадь боковой поверхности такого цилиндра?
Формула площади боковой поверхности цилиндра здесь та же:
Сбок = 2πrh
Подставляем известные параметры: r = h. Получаем:
Сбок = 2πr2
Таким образом, для данного случая площадь равна удвоенной площади основания цилиндра.
