Этот удивительный геометрический факт известен со школьной скамьи: если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они никогда не пересекутся, как бы далеко их ни продолжить. Давайте разберемся, почему так происходит.
Геометрические основы
Для начала давайте определимся с базовыми понятиями.
Прямая – это линия, имеющая одно направление, то есть не изгибающаяся. Прямые могут пересекаться или быть параллельными.
Перпендикулярные прямые – две прямые, которые пересекаются под прямым углом 90 градусов.
Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Эти углы могут быть:
- прямыми – 90 градусов;
- острыми – меньше 90 градусов;
- тупыми – больше 90 градусов.
Напомним также важную теорему о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Еще о параллельных прямых. Они находятся на одной плоскости и никогда не пересекаются, как бы далеко их ни продолжить. Параллельные прямые можно определить по признаку параллельности: если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство теоремы
Итак, сформулируем теорему:
Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются.
Докажем эту теорему методом от противного. Предположим, что две прямые AB и CD перпендикулярны прямой MN, но при этом пересекаются в некой точке (см. рисунок). Через точки их пересечения K можно провести отрезки AK и CK. Эти отрезки образуют треугольник AKC.
Угол между AB и MN | прямой, равный 90° |
Угол между CD и MN | прямой, равный 90° |
| Сумма этих углов | 180° |
Получается, что в треугольнике AKC уже есть два угла по 90 градусов. Их сумма равна 180°. Значит, третий угол должен быть равен 0, что невозможно.
Таким образом, наше предположение неверно. Прямые AB и CD не могут одновременно пересекать MN под прямым углом и пересекаться между собой. Следовательно, если две прямые перпендикулярны третьей, то они обязательно будут параллельны.
Следствия и применения
Из доказанной теоремы вытекает важное следствие об единственности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:
Из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр.
Это означает, что перпендикуляр к прямой задается однозначно. Рассмотрим на рисунке точку A и прямую n. Из точки A можно опустить на прямую n только один перпендикуляр AP.
Задачи на построение перпендикуляра
На основе теоремы о перпендикуляре можно решать различные задачи на построение. Например, через точку A, не лежащую на данной прямой n, провести прямую, перпендикулярную к n.
Решение будет следующим: из точки A опускаем перпендикуляр AP на прямую n. Тогда прямая p, проходящая через точку A и перпендикулярная отрезку AP, будет искомой прямой, перпендикулярной к n.
Примеры перпендикулярных непересекающихся прямых
Теперь объясните почему две прямые перпендикулярные третьей не пересекаются на конкретных примерах из реальной жизни.
В архитектуре перпендикулярные линии часто используются при планировке зданий и сооружений. Например, если построить два корпуса больницы или школы перпендикулярно к главному корпусу, они никогда при расширении не столкнутся друг с другом.
В технике перпендикулярность двух осей обеспечивает ровное и плавное вращение, например в электродвигателях или станках.
Краткое объяснение
Итак, объясните почему 2 прямые перпендикулярные 3 не пересекаются кратко так: согласно теореме, они становятся параллельными. А параллельные линии, находясь в одной плоскости, не имеют точек пересечения при любом их продолжении. Перпендикулярность одной прямой задает параллельность другой паре прямых относительно нее.
Применение в школьном курсе геометрии
Данная теорема о непересечении перпендикулярных прямых обычно изучается в 7 классе на уроках геометрии. Усвоение этого факта помогает понять свойство параллельности, важное при решении множества задач на построение перпендикуляров, вычисление углов и доказательство геометрических утверждений.
Также в курсе 7 класса рассматриваются частные случаи:
- перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве;
- перпендикулярность двух плоскостей (они также не пересекаются).
Понимание перпендикулярности и параллельности – основа для изучения стереометрии в старших классах.
