Высота в прямоугольном треугольнике - один из ключевых элементов, знание которого помогает решать множество задач по геометрии. В этой статье мы подробно разберем, что представляет собой высота, рассмотрим ее свойства и выведем основные формулы для нахождения высоты. Также на практических примерах покажем, как применять эти формулы для решения типовых задач по теме "Прямоугольный треугольник".
Что такое высота и ее свойства
Давайте начнем с определений.
Высота прямоугольного треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на противолежащую сторону (гипотенузу).
Каждая высота прямоугольного треугольника обладает двумя важными свойствами:
- Она делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.
- Эти два меньших треугольника подобны как исходному, так и друг другу.
Рассмотрим на рисунке:
Здесь высота CH делит исходный треугольник ABC на два меньших треугольника ACH и BCH. Оба они - прямоугольные, причем подобные исходному ABC.
Эти свойства высоты часто используются при решении задач на применение теоремы Пифагора и подобия треугольников. Например, зная длины катетов исходного треугольника и одного из малых, можно найти неизвестную сторону второго малого треугольника.
Формула высоты через стороны треугольника
Итак, давайте теперь выведем формулу для нахождения высоты прямоугольного треугольника через длины его сторон.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
Преобразуем это выражение и получаем формулу:
h = ac / b
где:
- h - высота прямоугольного треугольника
- a - длина катета
- b - длина другого катета
- c - длина гипотенузы
Эту формулу удобно использовать, когда известны длины двух катетов и гипотенузы треугольника.
Например, дан прямоугольный треугольник со сторонами a=3, b=4, c=5. Тогда высота равна:
h = (3 * 5) / 4 = 3.75
Обратите внимание, что формула работает только для прямоугольного треугольника, в котором обязательно есть прямой угол.
Формула высоты через площадь треугольника
Существует еще один способ найти высоту - через площадь прямоугольного треугольника S. Вспомним, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = (ab) / 2
С другой стороны, та же площадь может быть выражена через основание a и высоту h:
S = (ah) / 2
Приравниваем эти два выражения для площади:
Отсюда получаем:
h = 2S / a
Эту формулу удобно применять, когда известна площадь S прямоугольного треугольника и длина одного из его катетов a.
Например, если S=10, a=5, тогда:
h = (2 * 10) / 5 = 4
Таким образом, зная площадь и один катет, можно найти высоту прямоугольного треугольника, не зная остальных его сторон.
Формула высоты через угол и гипотенузу
Рассмотрим еще один способ нахождения высоты в прямоугольном треугольнике - по известному углу у основания и длине гипотенузы c.
Из определения синуса острого угла α имеем:
Отсюда получаем формулу:
h = c * sin(α)
Эту формулу удобно использовать, когда известны гипотенуза c и один из острых углов у основания треугольника.
Например, пусть c=10, α=30°. Тогда:
h = 10 * sin(30°) = 5
Сравнение разных способов нахождения высоты
Подведем итоги и сравним три основных способа нахождения высоты в прямоугольном треугольнике:
- По длинам сторон - формула h=ac/b
- По площади и стороне - формула h=2S/a
- По гипотенузе и углу - формула h=c*sin(α)
Каждая из этих формул применима в своих конкретных случаях, в зависимости от того, какие данные о треугольнике известны из условия задачи.
Примеры применения формул высоты
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение разных формул для нахождения высоты в прямоугольном треугольнике.
Пример 1. Дан прямоугольный треугольник с катетами a=5, b=12. Найти высоту h.
Решение. Известны длины двух катетов. Применим формулу через стороны:
h = (a*c) / b = (5*13) / 12 = 5
Ответ: h=5.
Пример 2. Площадь прямоугольного треугольника S=50, один из катетов a=10. Найти высоту h.
Решение. Известна площадь и одна сторона. Применим формулу через S:
h = 2*S/a = 2*50/10 = 10
Ответ: h=10.
Пример 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза c=26, угол α=30°. Найти высоту h.
Решение. Даны гипотенуза и угол. Используем третью формулу:
h = c*sin(α) = 26*sin(30°) = 13
Ответ: h=13.
Зная высоту прямоугольного треугольника, можно найти другие его элементы - стороны, углы, площадь.
