В астрономии, когда рассматривают движение космических тел по орбитам, часто применяют понятие "эллипс", поскольку их траектории характеризуются именно этой кривой. Рассмотрим в статье вопрос, что представляет собой отмеченная фигура, а также приведем формулу длины эллипса.
Что такое эллипс?
Согласно математическому определению, эллипс - это замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух других определенных точек, лежащих на главной оси, и носящих название фокусов, является постоянной величиной. Ниже приведен рисунок, который поясняет это определение.
На рисунке сумма расстояний PF' и PF равна 2 * a, то есть PF' + PF = 2 * a, где F' и F - фокусы эллипса, "a" - длина его большой полуоси. Отрезок BB' называется малой полуосью, а расстояние CB = CB' = b - длина малой полуоси. Здесь точка C определяет центр фигуры.
На рисунке выше также показан простой метод с веревкой и двумя гвоздиками, который широко используется для изображения эллиптических кривых. Другой способ получить эту фигуру заключается в выполнении сечения конуса под любым углом к его оси, который не равен 90o.
Если эллипс вращать вдоль одной из его двух осей, то он образует объемную фигуру, которая зазывается сфероидом.
Формула длины окружности эллипса
Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) - √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 - число пи.
Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.
Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.
Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.
