Углы преломления в разных средах

Одним из важных законов распространения световой волны в прозрачных веществах является закон преломления, сформулированный в начале XVII века голландцем Снеллом. Параметрами, фигурирующими в математической формулировке явления преломления, являются показатели и углы преломления. В данной статье рассмотрено, как ведут себя световые лучи при переходе через поверхность разных сред.

Что собой представляет явление преломления?

Главное свойство любой электромагнитной волны - это ее прямолинейное движение в гомогенном (однородном) пространстве. При возникновении любой неоднородности волна испытывает в большей или меньшей мере отклонение от прямолинейной траектории. Этой неоднородностью может быть наличие сильного гравитационного или электромагнитного поля в определенной области пространства. В данной статье эти случаи не будут рассмотрены, а будет уделено внимание именно неоднородностям, связанным с веществом.

Эффект преломления луча света в его классической формулировке означает резкое изменение одного прямолинейного направления движения этого луча на другое при переходе через поверхность, разграничивающую две разные прозрачные среды.

Следующие примеры удовлетворяют данному выше определению:

• переход луча из воздуха в воду;
• из стекла в воду;
• из воды в алмаз и т. д.

Почему возникает это явление?

Единственной причиной, обуславливающей описанный эффект, является различие скоростей движения электромагнитных волн в двух разных средах. Если такого различия не будет, или оно будет несущественным, то при переходе через поверхность раздела луч сохранит свое первоначальное направление распространения.

Разные прозрачные среды имеют различную физическую плотность, химический состав, температуру. Все эти факторы сказываются на скорости света. Например, явление миража - это прямое следствие преломления света в нагретых до разных температур слоях воздуха вблизи земной поверхности.

Главные законы преломления

Этих законов два, причем их может проверить каждый, если вооружится транспортиром, лазерной указкой и толстым куском стекла.

Перед тем как сформулировать их, стоит ввести некоторые обозначения. Показатель преломления записывают символом n_i, где i - идентифицирует соответствующую среду. Угол падения обозначают символом θ₁ (тета один), угол преломления- θ₂ (тета два). Оба угла отсчитываются относительно не плоскости раздела, а нормали к ней.

Закон № 1. Нормаль и два луча (θ₁ и θ₂) лежат в одной плоскости. Этот закон полностью аналогичен 1-му закону для отражения.

Закон № 2. Для явления преломления всегда справедливо равенство:

n₁ * sin (θ₁) = n₂ * sin (θ₂).

В приведенной форме это соотношение запомнить проще всего. В других формах оно выглядит менее удобно. Ниже приводятся еще два варианта записи закона №2:

sin (θ₁) / sin (θ₂) = n₂ / n₁;

sin (θ₁) / sin (θ₂) = v₁ / v₂.

Где v_i - скорость волны в i-той среде. Вторая формула легко получается из первой прямой подстановкой выражения для n_i:

n_i = c / v_i.

Оба приведенных закона являются результатом многочисленных опытов и обобщений. Однако их можно математически получить, пользуясь так называемым принципом наименьшего времени или принципом Ферма. В свою очередь, принцип Ферма выводится из принципа Гюйгенса - Френеля о вторичных источниках волн.

Особенности закона № 2

n₁ * sin (θ₁) = n₂ * sin (θ₂).

Видно, что чем больше показатель n₁ (плотная оптическая среда, в которой скорость света сильно уменьшается), тем ближе будет θ₁ к нормали (функция sin (θ) монотонно возрастает на отрезке [0^o, 90^o]).

Показатели преломления и скорости движения электромагнитных волн в средах - это табличные величины, измеренные экспериментально. Например, для воздуха n составляет 1,00029, для воды - 1,33, для кварца - 1,46, а для стекла - около 1,52. Сильно свет замедляет свое движение в алмазе (почти в 2,5 раза), его показатель преломления равен 2,42.

Приведенные цифры говорят, что любой переход луча из отмеченных сред в воздух будет сопровождаться увеличением угла (θ₂>θ₁). При изменении направления луча справедлив обратный вывод.

Показатель преломления зависит от частоты волны. Указанные выше цифры для разных сред соответствуют длине волны 589 нм в вакууме (желтый цвет). Для синего света эти показатели будут несколько больше, а для красного - меньше.

Стоит отметить, что угол падения равен углу преломления луча только в одном единственном случае, когда показатели n₁ и n₂ одинаковые.

Далее рассмотрены два разных случая применения этого закона на примере сред: стекло, воздух и вода.

Луч переходит из воздуха в стекло или воду

Стоит рассмотреть два случая для каждой среды. Можно взять для примера углы падения 15^o и 55^o на границу стекла и воды с воздухом. Угол преломления в воде или в стекле можно рассчитать по формуле:

θ₂ = arcsin (n₁ / n₂ * sin (θ₁)).

Первой средой в данном случае является воздух, то есть n₁ = 1,00029.

Подставляя в выражение выше известные углы падения, получится:

• для воды:

(n₂ = 1,33): θ₂ = 11,22^o (θ₁ = 15^o) и θ₂ = 38,03^o (θ₁ = 55^o);

• для стекла:

(n₂ = 1,52): θ₂ = 9,81^o (θ₁ = 15^o) и θ₂ = 32,62^o (θ₁ = 55^o).

Полученные данные позволяют сделать два важных вывода:

1. Поскольку угол преломления из воздуха в стекло меньше, чем для воды, то стекло изменяет направление движения лучей несколько сильнее.
2. Чем больше угол падения, тем сильнее от первоначального направления отклоняется луч.

Свет движется из воды или стекла в воздух

Любопытно рассчитать, чему равен угол преломления для такого обратного случая. Расчетная формула остается той же самой, что и в предыдущем пункте, только теперь показатель n₂ = 1,00029, то есть, соответствует воздуху. Получится

• при движении луча из воды:

(n₁ = 1,33): θ₂ = 20,13^o (θ₁= 15^o) и θ₂ = не существует (θ₁ = 55^o);

• при движении луча из стекла:

(n₁ = 1,52): θ₂ = 23,16^o (θ₁ = 15^o) и θ₂ = не существует (θ₁ = 55^o).

Для угла θ₁ = 55^o не получается определить соответствующий θ₂. Связано это с тем, что он оказался больше 90^o. Эта ситуация называется полным отражением внутри оптически плотной среды.

Этот эффект характеризуется критическими углами падения. Рассчитать их можно, приравняв в законе № 2 sin (θ₂) единице:

θ_1c = arcsin (n₂ / n₁).

Подставляя в это выражение показатели для стекла и воды, получится:

• для воды:

(n₁ = 1,33): θ_1c = 48,77^o;

• для стекла:

(n₁ = 1,52): θ_1c = 41,15^o.

Любой угол падения, который будет больше полученных значений для соответствующих прозрачных сред, приведет к эффекту полного отражения от поверхности раздела, то есть преломленного луча не будет существовать.