Аксиома - это основополагающее утверждение, которое принимается без доказательств. Аксиомы лежат в основе любой логически выстроенной системы знаний. Без аксиом невозможно построить теорию, ведь именно аксиомы задают исходные посылки, из которых проистекают все остальные умозаключения и выводы.
Но что же делает утверждение аксиомой? Давайте разберемся.
Значение слова аксиома
Чтобы утверждение считалось аксиомой, оно должно обладать следующими признаками:
- Очевидность. Аксиома должна быть настолько очевидной, что не требует доказательств.
- Недоказуемость в рамках данной системы. Аксиому нельзя доказать, используя другие утверждения этой же системы.
- Непротиворечивость. Аксиома не должна противоречить другим аксиомам этой системы.
Рассмотрим подробнее каждый из этих признаков.
Очевидность аксиомы
Аксиома должна быть настолько очевидной и само собой разумеющейся, что не нуждается в доказательствах. Например, в геометрии очевидным является утверждение, что через две точки можно провести прямую. Это кажется таким естественным и бесспорным, что не требует никаких логических выкладок.
Однако принцип очевидности весьма субъективен. То, что кажется очевидным одному человеку, может показаться невероятным другому. Поэтому при выборе аксиом важно опираться на мнение научного сообщества.
Недоказуемость аксиомы
Второй важный признак аксиомы - ее недоказуемость в рамках данной системы знаний. Если утверждение можно логически вывести из других утверждений этой системы, значит, это не аксиома.
Например, теорема Пифагора не является аксиомой, так как ее можно доказать, используя аксиомы и постулаты геометрии. А вот постулат о том, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной - это действительно аксиома.
Непротиворечивость аксиом
И последнее необходимое свойство аксиомы - ее непротиворечивость по отношению к другим аксиомам системы. Аксиомы не должны опровергать или исключать друг друга.
Например, нельзя взять в качестве аксиом утверждения "все лебеди белые" и "существуют черные лебеди". Эти два высказывания противоречат друг другу, значит, они не могут быть аксиомами одной системы.
Примеры аксиом
Давайте рассмотрим несколько примеров наиболее известных аксиом:
- Аксиомы Пеано - основа арифметики натуральных чисел.
- Аксиомы Евклида - базис геометрии Евклида.
- Аксиомы Цермело-Френкеля - используются в теории множеств.
- Аксиомы Колмогорова - описывают основы теории вероятностей.
Как видим, аксиомы являются фундаментом самых разных областей математики и логики. Без аксиом невозможно построить стройную и непротиворечивую теорию.
Выбор аксиом
О том, что такое аксиома, вы теперь осведомлены. Остается вопрос - как же выбираются аксиомы для той или иной системы знаний? Ведь от выбора аксиом зависит, какие утверждения в этой системе будут истинными, а какие ложными.
Здесь нет универсальных правил. Аксиомы выбираются на основе накопленного опыта и интуиции ученых, чтобы задать прочный фундамент для построения нужной теории. Главное - чтобы аксиомы соответствовали трем упомянутым выше признакам.
Таким образом, аксиомы - это исходные посылки научной теории, принимаемые без доказательств. Аксиомы должны быть очевидными, недоказуемыми в рамках данной теории и непротиворечивыми. Выбор аксиом во многом определяет, какие утверждения будут истинными в построенной на их основе системе знаний.
Применение аксиом в логике
В логике аксиомы применяются как основа для построения дедуктивных умозаключений. Из аксиом логическим путем выводятся теоремы, которые затем используются для доказательства новых утверждений.
Например, на аксиомах исчисления высказываний строится логика утверждений типа "если..., то...". Аксиомы задают базовые правила вывода и позволяют строить сложные цепочки рассуждений о соотношении истинности различных высказываний.
Аксиомы в математике
В математике аксиомы лежат в основе построения математических теорий - алгебры, геометрии, математического анализа и др. На базе аксиом доказываются теоремы, формулируются правила и выводятся новые знания.
Более того, аксиомы позволяют выявить ограничения теории и наметить пути ее развития. Например, кризис геометрии в 19 веке привел к созданию неевклидовых геометрий путем изменения аксиом Евклида.
Какие утверждения называются аксиомами
В философии аксиомы часто используются для построения философских систем и концепций. Например, Рене Декарт взял в качестве аксиом утверждения "Я мыслю, следовательно, я существую" и "Ясное и отчетливое восприятие есть критерий истины".
Опираясь на эти аксиомы, он развил свою философскую систему, включающую теорию познания, дуализм души и тела и этику.
Аксиомы теории относительности
В основе специальной теории относительности Эйнштейна лежат две простые аксиомы:
- Все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
- Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника.
Из этих двух аксиом Эйнштейн вывел все основные следствия своей теории - замедление времени, сокращение длин и эквивалентность массы и энергии. Это показывает силу аксиоматического метода в физике.
Надеемся, теперь вы понимаете, что такое аксиома. Практически в каждой сфере жизни есть аксиома (стереометрии, физики, химии, информатике). Однако далеко не все привычное является аксиомой.
