Векторы широко используются в математике, физике, инженерных расчетах и других областях. Умение находить квадрат длины вектора позволяет решать множество прикладных задач. Давайте разберемся с этой темой на простых примерах!
Основные понятия
Вектор - это направленный отрезок, который задается координатами начала и конца. В отличие от скалярных величин, векторы обладают не только числовым значением, но и направлением.
Длина вектора (модуль) - это длина соответствующего отрезка. Обозначается вертикальными чертами, например |AB|.
Модуль вектора a определяется по формуле:
|a| = √(x12 + x22 + ... + xn2)
Где x1, x2,...,xn - координаты вектора.
Нахождение квадрата длины вектора на плоскости
На плоскости вектор задается двумя координатами. Поэтому формула для квадрата его длины имеет вид:
|a|2 = x12 + x22
Рассмотрим пример.
Задача: Найти квадрат длины вектора a = (3; 4).
Решение:
|a|2 = x12 + x22 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Ответ: 25
Как видите, ничего сложного - просто подставляем координаты в формулу и вычисляем.
Для избежания ошибок при решении таких задач следует:
- Правильно определить координаты вектора
- Не перепутать знаки при подстановке в формулу
- Аккуратно провести арифметические действия
Вычисление квадрата длины вектора в пространстве
В пространстве вектор задается тремя координатами x, y, z. Соответственно, формула для квадрата его длины:
|a|2 = x2 + y2 + z2

Вычисление квадрата длины вектора в пространстве
В пространстве вектор задается тремя координатами x, y, z. Соответственно, формула для квадрата его длины:
|a|2 = x2 + y2 + z2
Рассмотрим пример.
Задача: Дан вектор a = (2; 3; 4). Найти квадрат его длины.
Решение: |a|2 = x2 + y2 + z2 = 22 + 32 + 42 = 4 + 9 + 16 = 29
Ответ: 29
При вычислении в пространстве легко допустить ошибку, поэтому рекомендуется:
- Внимательно записать координаты вектора
- Проверить правильность подстановки в формулу
- Аккуратно выполнить вычисления
Нахождение квадрата длины по координатам концов вектора
Если известны координаты начальной (A) и конечной (B) точек вектора, то сначала находят его координаты как разность соответствующих координат, а затем подставляют их в формулу квадрата длины:
|AB|2 = (xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2
Пример: A(1;2;3); B(4;5;6). Найти квадрат длины вектора AB.
Решение: xb – xa = 4 – 1 = 3; yb – ya = 5 – 2 = 3; zb – za = 6 – 3 = 3
|AB|2 = 32 + 32 + 32 = 9 + 9 + 9 = 27
Ответ: 27
Особенности вычисления для нулевых и единичных векторов
Рассмотрим два специальных случая:
- Нулевой вектор 0. Его координаты равны 0, поэтому |0|2 = 02 + 02 + ... + 02 = 0
- Единичные векторы i, j, k. Их длина равна 1, соответственно |i|2 = |j|2 = |k|2 = 1
Пример: Дан вектор a = 2i + 3j. Найти квадрат его длины.
Решение: |a|2 = |2i + 3j|2 = (2|i|)2 + (3|j|)2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
Ответ: 13

Применение для вычисления физических величин
Знание квадрата длины вектора позволяет рассчитать многие физические характеристики.
Например, работу силы можно найти по формуле:
A = F * S * cos α, где S - квадрат длины вектора перемещения.
Применение для вычисления физических величин
Знание квадрата длины вектора позволяет рассчитать многие физические характеристики.
Например, работу силы можно найти по формуле:
A = F * S * cos α, где S - квадрат длины вектора перемещения.
Пример: Сила F=10 Н переместила тело на расстояние S=5 м под углом α=30° к направлению силы. Найти работу.
Решение: |S| - длина вектора перемещения. |S|2 = 52 = 25.
A = F*|S|2*cosα = 10*25*cos30° = 125 Дж.
Ответ: работа равна 125 Дж.
Вычисление длины вектора через точки и теорему косинусов
Если известны координаты точек A, B, C и требуется найти длину вектора AB, можно воспользоваться теоремой косинусов:
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2 - 2|AC||BC|cos∠ABC
Задача: Даны точки A(1;2), B(3;4), C(5;1). Найти длину вектора AB.
Решение: |AC|2 = (5-1)2 + (1-2)2 = 16 + 1 = 17
|BC|2 = (3-5)2 + (4-1)2 = 4 + 9 = 13
cos∠ABC = 0
|AB|2 = 17 + 13 - 2√17√13·0 = 30
|AB| = √30 = 6
Ответ: 6
Поиск ошибок при вычислении квадрата длины
Чтобы избежать ошибок, рекомендуется:
- Внимательно проверять знаки при вычитании координат
- Не пропускать члены при подстановке в формулы
- Проверять вычисления, особенно под корнем
Если ответ получается неверным, нужно вернуться к началу решения и выполнить проверку шаг за шагом.
Поиск ошибок при вычислении квадрата длины
Чтобы избежать ошибок, рекомендуется:
- Внимательно проверять знаки при вычитании координат
- Не пропускать члены при подстановке в формулы
- Проверять вычисления, особенно под корнем
Если ответ получается неверным, нужно вернуться к началу решения и выполнить проверку шаг за шагом.

Анализ распространенных ошибок
Рассмотрим несколько типичных ошибок, которые допускают при вычислении квадрата длины вектора:
- Опечатки при записи координат вектора или точек
- Неверное применение формул вычитания координат
- Пропуск членов в формуле квадрата длины
- Неправильный порядок действий при возведении в квадрат
Чтобы их избежать, нужно быть внимательным и аккуратным.
Пошаговая проверка решения
Если получен неверный ответ, рекомендуется:
- Проверить запись условия задачи, координат точек и векторов
- Сравнить применение формул в решении с теорией
- Пересчитать все значения, особенно под корнем
- Попросить другого человека проверить ход решения
Такая пошаговая проверка позволяет найти ошибку и исправить ее.
Пошаговая проверка решения
Если получен неверный ответ, рекомендуется:
- Проверить запись условия задачи, координат точек и векторов
- Сравнить применение формул в решении с теорией
- Пересчитать все значения, особенно под корнем
- Попросить другого человека проверить ход решения
Такая пошаговая проверка позволяет найти ошибку и исправить ее.
Различные способы проверки
Кроме пошаговой проверки, существуют и другие способы нахождения ошибок:
- Вычислить длину вектора двумя разными формулами и сравнить
- Найти скалярное произведение исходного вектора на себя
- Попробовать решить обратную задачу
Это позволит подтвердить правильность вычислений или выявить ошибку.
Анализ полученного ответа
После нахождения ответа важно проанализировать его:
- Имеет ли смысл полученная величина с физической точки зрения?
- Соответствует ли порядок ответа исходным данным?
- Можно ли проверить ответ каким-либо другим способом?
Такой анализ помогает вовремя заметить ошибку или подтвердить верность решения.
Анализ полученного ответа
После нахождения ответа важно проанализировать его:
- Имеет ли смысл полученная величина с физической точки зрения?
- Соответствует ли порядок ответа исходным данным?
- Можно ли проверить ответ каким-либо другим способом?
Такой анализ помогает вовремя заметить ошибку или подтвердить верность решения.
Проверка ответа независимым методом
Для подтверждения найденного значения квадрата длины вектора можно:
- Вычислить длину другим способом и возвести результат в квадрат
- Найти скалярное произведение вектора на самого себя
- Преобразовать исходный вектор и вычислить квадрат его длины
Если при этом получится то же значение - ответ верен.
Геометрическая интерпретация результата
Полезно представить геометрический смысл найденного квадрата длины:
- Это квадрат гипотенузы вектора
- Площадь квадрата, построенного на векторе
- Объем куба с ребром, равным длине вектора
Такая визуализация результата помогает проверить его правильность.