Как сравнивать числа с корнем: объяснение

Сравнение чисел, содержащих корень, является важным умением при решении многих математических задач. Чтобы правильно сравнить такие числа, необходимо знать несколько основных правил и приемов.

Преобразование под знак корня

Одним из основных способов сравнения является преобразование выражений под знак корня. Рассмотрим пример:

Нужно сравнить числа √12 и 2√3. Преобразуем:

• √12 = √(4·3) = √4 · √3 = 2√3

Таким образом, числа равны. Этот прием позволяет привести сравниваемые значения к одному виду.

Возведение в квадрат

Другой распространенный способ – возведение подкоренных выражений в квадрат. Например:

Сравним √5 и 2. Возводим подкоренные выражения в квадрат:

• √5 = √25 = 5
• 2² = 4

Поскольку 5 > 4, то и √5 > 2. Этот метод применим только для положительных чисел, так как для отрицательных возведение в квадрат меняет знак.

Формулы сопряженных выражений

Еще один удобный прием основан на использовании формул сопряженных выражений. Например, чтобы сравнить √8 + √15 и √5 + √12, применяем формулу:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Тогда:

• (√8 + √15)(√8 - √15) = 8 - 15 = -7
• (√5 + √12)(√5 - √12) = 5 - 12 = -7

Полученные значения равны, значит и сами выражения равны.

Как сравнить числа под корнем

Часто нужно сравнить не только значения до корня, но и подкоренные выражения. Для этого можно использовать следующие приемы:

1. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) подкоренных выражений.
2. Приведение подкоренных выражений к одному знаменателю (для дробей).
3. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

Например, чтобы сравнить √48 и √32, находим НОД(48;32) = 16. Тогда:

• √48 = √(16·3) = √16·√3
• √32 = √(16·2) = √16·√2

Так как √3 > √2, то и √48 > √32.

Данные приемы позволяют значительно упростить сравнение чисел с корнем в математических задачах и вычислениях.

Другие способы сравнения чисел с корнем

Помимо основных методов, описанных выше, существуют и другие эффективные способы сравнения чисел с корнем.

Использование таблиц квадратов чисел

Часто полезно воспользоваться готовыми таблицами квадратов натуральных чисел. Это позволяет быстро находить квадратный корень и сравнивать подкоренные выражения.

Например, чтобы сравнивать числа √42 и √30, по таблице находим, что 42 = 6², а 30 = 5². Значит, √42 = 6 > 5 = √30.

Приближенное сравнение с допустимой погрешностью

Иногда нет необходимости в точном значении корня. Можно использовать приближенное сравнение с заданной погрешностью.

Например, чтобы сравнивать √3.01 и √3 с точностью до сотых, достаточно записать:

• √3.01 ≈ 1.73
• √3 ≈ 1.73

Числа равны с данной точностью.

Сравнение с помощью числовой прямой

Сравнивать числа корнем также можно с использованием числовой прямой, отмечая на ней соответствующие значения точками и визуально определяя их взаимное расположение.

Недостатком этого метода является менее высокая точность, зато он нагляден и прост.

Корни в неравенствах и уравнениях

Рассмотренные выше способы актуальны не только для обычных чисел, но и при работе с неравенствами, уравнениями, содержащими корень.

Например, чтобы решить неравенство √(x + 5) > 3, применяем возведение в квадрат:

√(x + 5) > 3
x + 5 > 9 x > 4

А в уравнении √(x - 2) = 5, используем преобразование под знак корня:

√(x - 2) = 5 x - 2 = 25 x = 27