Закон Пуазейля является фундаментальным законом гидродинамики, позволяющим рассчитать характеристики течения жидкости в трубах. Его практическое применение чрезвычайно широко – от медицины до техники. Давайте разберемся в его сути и истории открытия.
Предпосылки открытия закона Пуазейля
Изучение законов движения жидкостей, или гидродинамики, началось еще в XVII веке с работ Галилео Галилея, Эванджелисты Торричелли и Исаака Ньютона. Однако до 19 века это была в основном теоретическая наука. Экспериментальные данные о течении реальных жидкостей практически отсутствовали.
Первые систематические опыты по изучению течения воды, масел и других жидкостей в трубах провел в 1839 году немецкий инженер Готтхильф Хаген. Он установил, что объем жидкости, протекающей через трубу в единицу времени, зависит от:
- Перепада давления в начале и конце трубы;
- Диаметра трубы;
- Длины трубы;
- Вязкости жидкости.
Однако Хаген не смог получить количественные закономерности этой зависимости.
Формулировка закона Пуазейля
В 1840-1841 годах французский физиолог Жан Луи Мари Пуазейль провел серию тщательно спланированных экспериментов по изучению течения крови в капиллярах и мелких кровеносных сосудах. В результате он установил количественную зависимость между параметрами течения и получил формулу, названную впоследствии его именем – закон Пуазейля:
где Q – объемный расход жидкости, ΔP – разность давлений, π – число пи, r – радиус трубки, l – ее длина, η –динамическая вязкость.
Таким образом, Пуазейль на практике подтвердил качественные результаты Хагена и получил точное математическое выражение закона Пуазейля для случая ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубке.
Вывод формулы закона Пуазейля
Закон Пуазейля можно теоретически вывести из уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Для этого рассмотрим силы, действующие на элементарный столбик жидкости радиусом r и высотой l внутри цилиндрической трубки радиусом R:
- Сила гидродинамического давления на торцевые грани, стремящаяся вытолкнуть столбик из трубки, равна разности давлений на концах умноженной на площадь поперечного сечения столбика.
- Сила внутреннего трения возникает из-за того, что скорость течения на оси трубки больше, чем у стенок. Эта сила направлена против движения столбика жидкости и пропорциональна градиенту скорости и касательным напряжениям.
Приравнивая эти силы согласно второму закону Ньютона и решая полученное дифференциальное уравнение, можно получить формулу Пуазейля для расхода жидкости.
Таким образом, закон Пуазейля имеет прочную теоретическую основу и следует из уравнений гидродинамики для вязких жидкостей. Эксперименты Пуазейля позволили подтвердить справедливость теоретических выкладок на реальных жидкостях в условиях ламинарного течения.
Уточнение Джорджем Стоксом в 1845 году
В 1845 году английский математик и физик Джордж Габриэль Стокс на основании теоретических выкладок вывел коэффициент пропорциональности k в уравнении Пуазейля, установив его связь с вязкостью жидкости:
Тем самым Стокс дал строгое теоретическое обоснование закону Гагена-Пуазейля и экспериментально установленной Пуазейлем зависимости.
Роль вязкости жидкости
Из уточненной Стоксом формулы видно, что вязкость играет ключевую роль в определении характеристик течения жидкости согласно закону Пуазейля. Чем больше вязкость, тем меньше расход жидкости в трубке при одинаковых остальных условиях.
В медицине и биологии это имеет большое значение. Например, повышенная вязкость крови, которая зависит от соотношения форменных элементов, белков плазмы и воды, может приводить к нарушению кровотока и развитию тромбозов из-за ухудшения гемодинамики . Таким образом, реологические свойства крови напрямую влияют на ее циркуляцию в организме согласно закону Пуазейля.
Применение в медицине
Клиницисты активно используют закон Пуазейля для изучения и диагностики состояния кровеносных сосудов. В частности, по величине кровотока можно судить о проходимости артерий и степени их стеноза (сужения).
Применение в технике
В технике закон Пуазейля применяют для расчета характеристик трубопроводов, гидравлических машин и других устройств, в которых происходит ламинарное течение жидкостей или газов.
Обобщение закона Пуазейля
Изначально закон Пуазейля был получен для цилиндрических труб круглого сечения. Однако в дальнейшем были найдены его обобщения для труб произвольной формы.
В частности, для эллиптической трубы расход определяется формулой:
где a и b - полуоси эллипса.
Учет сжимаемости среды
Еще одно допущение закона Пуазейля - несжимаемость жидкости. Однако для газов это условие не выполняется.
Для сжимаемых сред расход зависит также от плотности в каждом сечении трубы. При высоких перепадах давления эта поправка может быть значительной.
Описание турбулентных течений
Кроме того, закон Пуазейля справедлив только для ламинарных режимов. При турбулентном движении жидкости или газа он дает значительную погрешность.
Для этих случаев были разработаны полуэмпирические зависимости, учитывающие вязкость и шероховатость стенок труб.
Моделирование течений
В настоящее время активно развиваются компьютерные методы моделирования различных режимов течения жидкостей и газов с использованием уравнений Навье-Стокса.
Это позволяет с высокой точностью рассчитывать ламинарные и турбулентные течения для труб различных форм и свойств.
Перспективы теории
Несмотря на двухвековую историю, исследования в области гидродинамики течений в трубах продолжают активно вестись и в наши дни.
Открытие новых эффектов и явлений, разработка мощных вычислительных методов открывают новые перспективы как для фундаментальной науки, так и для прикладных инженерных приложений закона Пуазейля.
Интересные исторические факты
История открытия закона Пуазейля полна любопытных деталей.
Так Готтхильф Хаген изначально занимался вовсе не гидродинамикой, а проектированием водопроводных систем. И только практическая необходимость подтолкнула его к изучению законов течения жидкостей.
А Пуазейль, будучи физиологом, хотел в первую очередь разобраться в механизмах кровообращения и лишь случайно сделал крупнейшее открытие в области физики.
Неожиданные аналогии
Любопытно, что математически закон Пуазейля по форме своей записи очень напоминает второй закон Ньютона, связывающий ускорение тела с приложенной силой и массой.
Также можно провести параллели с законом Ома для электрических цепей, где роль падения напряжения играет перепад давления, а роль сопротивления - вязкость жидкости.
Забавные аналогии
Иногда закон Пуазейля иллюстрируют забавными житейскими примерами.
Так, представьте толпу людей, медленно движущуюся через узкий проход. Чем уже этот "проход", тем медленнее проталкивается сквозь него поток людей при одном и том же перепаде плотностей толпы с двух сторон.
Новые открытия
Несмотря на кажущуюся завершенность классической теории, и в наше время продолжают появляться новые экспериментальные данные, уточняющие и дополняющие закон Пуазейля.
В частности, было показано влияние шероховатости стенок труб на величину гидравлического сопротивления. А для микротечений в наноканалах были обнаружены значительные отклонения от классики, что указывает на проявление еще неизвестных эффектов.
