Ломаные линии являются одними из наиболее распространенных геометрических фигур. Они состоят из последовательно соединенных отрезков и широко используются в различных областях науки, техники и искусства. Однако не все знают, что представляют собой вершины ломаных и какова их роль.
Основные понятия
Итак, что такое вершины ломаной? Для начала давайте разберемся в основных определениях.
Ломаная линия – это геометрическая фигура, состоящая из звеньев. Звеньями называют отрезки, которые последовательно соединены между собой. А вершинами ломаной являются конечные точки этих звеньев, то есть точки их соединения.
Например, ломаная ABCDEF. Ее звенья – это отрезки AB, BC, CD, DE и EF. А вершины – точки A, B, C, D, E и F.
Таким образом, вершины ломаной – это опорные точки, в которых сходятся ее звенья. От количества этих точек зависит внешний вид ломаной и ее свойства.
Минимальное количество вершин
Интересный вопрос – сколько вершин у ломаной должно быть как минимум? Ответ прост – всего три. Ведь согласно определению, ломаная состоит минимум из двух звеньев, а звенья имеют две конечные точки, одна из которых в данном случае является общей.
То есть у ломаной линии обязательно есть три вершины – в начале первого звена, в конце последнего и между ними. Это самый простой случай. Но чаще вершин больше.
Разновидности ломаных линий
Существует несколько разновидностей ломаных линий, которые отличаются расположением звеньев и вершин.
Вырожденные и невырожденные
Если соседние звенья ломаной лежат на одной прямой, то такая ломаная называется вырожденной. В невырожденных ломаных это условие не выполняется.
У вырожденных ломаных часть вершин как бы «лишняя». Поэтому при вычислениях с вырожденными фигурами нужно быть очень внимательным.
Замкнутые и незамкнутые
Еще один важный критерий классификации ломаных – наличие замкнутости. Если начальная и конечная вершины ломаной совпадают, то она называется замкнутой. В противном случае ломаная незамкнутая.
Замкнутая ломаная по форме напоминает многоугольник, а незамкнутая – открытую ломаную кривую.
У незамкнутых ломаных количество вершин всегда на единицу больше, чем звеньев. А у замкнутых – равно.
Замкнутые ломаные часто используются для построения и расчетов в геометрии. А вот незамкнутые в большей степени применяются в инженерных задачах – например, для моделирования траекторий движений.
Простые и самопересекающиеся ломаные
Еще один признак классификации ломаных линий - наличие или отсутствие самопересечений. Если звенья ломаной не имеют общих точек, кроме вершин, то такая ломаная называется простой. В противном случае она является самопересекающейся.
Ломаные в виде зигзага
Особой разновидностью ломаной линии является зигзаг. Он образуется, если соседние звенья параллельны друг другу через одно звено.
Такие ломаные часто используются в декоративном искусстве.
Вычисления с вершинами ломаных
Рассмотрим некоторые примеры вычислений и построений с участием вершин ломаных линий.
Вычисление длины ломаной
Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев:
- L(ABC) = AB + BC
- L(ABCD) = AB + BC + CD
При этом в расчетах учитывается каждое звено отдельно, даже если оно проходит по одному отрезку дважды. Вершины в таких вычислениях значения не имеют.
