Многие школьники и их родители сталкиваются с трудностями при решении задач на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Эта кажущаяся простой тема на самом деле таит в себе множество нюансов. Давайте разберем основные методы и посмотрим, как можно быстро и правильно находить площадь любых фигур на клетчатой бумаге, используя простейшую формулу.
Базовые формулы и методы
Прежде всего, нам понадобятся формулы для вычисления площадей простейших фигур, с которыми мы будем работать:
- Площадь треугольника: 1/2 * основание * высота
- Площадь прямоугольника: длина * ширина
- Площадь параллелограмма: основание * высота
- Площадь трапеции: 1/2 * (сумма оснований) * высота
- Площадь ромба: 1/2 * диагональ1 * диагональ2
Если фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой один из этих простейших случаев, то с ней все ясно - просто применим соответствующую формулу. Но что, как находить площадь фигуры по клеткам, если фигура является более сложным многоугольником?
Метод разбиения сложной фигуры на простые
Один из подходов в этом случае - разбить сложную фигуру на более простые, для которых у нас уже есть формулы площадей. Например, нестандартный четырехугольник можно разбить на треугольники и прямоугольники:
Затем вычисляем площади полученных простых фигур и суммируем результаты. Это и будет искомая площадь всей сложной фигуры.
Метод дополнения до более простой фигуры
Еще один распространенный прием - дополнить сложную фигуру до какой-либо простой, площадь которой легко вычислить. Например, можно обвести нужный нам многоугольник прямоугольником, найти площадь прямоугольника, а затем вычесть "лишние" добавленные части:
А вот еще пример, где исходная фигура дополняется до ромба со знаменитыми диагоналями d1 и d2:
Получается, классические методы разбиения и дополнения вполне позволяют справляться с вычислением площадей различных фигур на клетчатой бумаге. Но есть и еще более универсальный подход!
Универсальная формула Пика
Это формула названа в честь швейцарского математика Георга Пика: S = В + Г/2 - 1, где:
- S - площадь многоугольника
- В - количество узлов внутри фигуры (точки пересечения линий клеток)
- Г - количество узлов на границе фигуры
| Метод | Достоинства | Недостатки |
| Разбиения | - Наглядно - Подходит для небольших фигур | - Может быть громоздко- Трудоемко при больших фигурах |
| Дополнения | - Быстро- Удобно для сложных фигур | - Не всегда применимо |
| Формула Пика | - Применима всегда- Проста в использовании | - Требует аккуратного подсчета узлов |
Как видно из таблицы, формула Пика является универсальным решением для нахождения площадей любых плоских фигур на клетчатой бумаге. При этом она довольно проста в применении. Давайте теперь более подробно разберем, как найти площадь фигуры по клеткам с помощью формулы Пика.
Многие школьники и их родители сталкиваются с трудностями при решении задач на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Эта кажущаяся простой тема на самом деле таит в себе множество нюансов. Давайте разберем основные методы и посмотрим, как можно быстро и правильно находить площадь любых фигур на клетчатой бумаге, используя простейшую формулу.
Виды треугольников и их свойства
Прежде чем перейти непосредственно к вычислению площадей, давайте разберем, какие бывают треугольники и каковы их основные свойства.
Виды треугольников по углам
По величине углов различают три основных вида треугольников:
- Остроугольный - все три угла острые
- Тупоугольный - один из углов тупой
- Прямоугольный - один из углов прямой (90 градусов)
Таким образом, "какой треугольник называется прямоугольным" - это треугольник, у которого один из внутренних углов равен 90 градусам. А "какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой"? Это сторона, лежащая напротив прямого угла.
В каких случаях треугольник называется прямоугольным?
Еще один признак прямоугольного треугольника - выполнение теоремы Пифагора:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a2 + b2 = c2 То есть если в некотором треугольнике это соотношение выполняется, значит, он прямоугольный. И наоборот - "треугольник называется прямоугольным если у него" выполняется теорема Пифагора.
Формула Герона для площади треугольника
А теперь перейдем к основной нашей теме - вычислению площадей. Для вычисления площади произвольного треугольника удобно использовать формулу Герона:
где a, b, c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр, то есть
p = (a + b + c) / 2
Эта формула одинаково применима как для остроугольного, так и для прямоугольного или тупоугольного треугольника. Теперь посмотрим, как с ее помощью можно вычислить площадь треугольника на клетчатой бумаге.
