Формула объема правильной шестиугольной пирамиды: как найти и посчитать

Геометрические фигуры в виде пирамид окружают нас повсюду – от египетских пирамид до крыш домов. Давайте разберемся, как вычислить объем одной из самых интересных фигур – правильной шестиугольной пирамиды. Узнаем формулу и научимся применять ее на практике для решения задач.

Что такое правильная шестиугольная пирамида и каковы ее свойства

Правильная шестиугольная пирамида – это геометрическая фигура, у которой:

• Основанием является правильный шестиугольник со сторонами одинаковой длины и углами в 60 градусов
• Боковые грани представляют собой равные треугольники
• Высота пирамиды проходит через центр основания перпендикулярно плоскости

Основными элементами правильной шестиугольной пирамиды являются:

1. Шестиугольное основание со стороной а
2. Шесть треугольных граней
3. Вершина пирамиды
4. Высота пирамиды h
5. Апофема основания р

Отличительными свойствами этой фигуры являются:

• Полная симметричность относительно высоты
• Равенство всех боковых граней между собой
• Постоянство угла между гранями и плоскостью основания (ровно 60°)

В отличие от правильной, у неправильной шестиугольной пирамиды стороны основания и углы могут быть разных размеров:

По сравнению с треугольными или четырехугольными, шестиугольные пирамиды реже встречаются на практике, но тем не менее применяются в архитектуре, дизайне интерьеров. Некоторые древние сооружения также имели форму усеченных шестиугольных пирамид.

Формула объема правильной шестиугольной пирамиды

Для вычисления объема любой пирамиды используется общая формула:

V = (1/3) * S_осн * h

где S_осн – площадь основания, h – высота пирамиды.

Площадь правильного шестиугольника можно найти через сторону а и апофему р:

S_{шестиуг} = (3√3/2) * a² = 3 * р * a

Подставляя это выражение в формулу объема пирамиды, получаем итоговую формулу для правильной шестиугольной пирамиды:

V = (√3/2) * a² * h

Таким образом, для нахождения объема нам понадобятся значения высоты пирамиды и стороны ее основания.

Существуют и другие варианты формулы через различные элементы шестиугольной пирамиды. К примеру, можно выразить объем через высоту и апофему основания.

В отличие от формул для треугольной и четырехугольной, здесь присутствует множитель √3/2, который учитывает количество сторон основания.

Для быстрого расчета по известным параметрам существуют онлайн калькуляторы объема шестиугольной пирамиды.

Примеры практического применения шестиугольных пирамид

Несмотря на то, что шестиугольные пирамиды встречаются реже, чем треугольные или четырехугольные, они также находят применение на практике.

В архитектуре и строительстве

Элементы в виде усеченных шестиугольных пирамид можно увидеть в постройках многих древних цивилизаций – от Египта до Центральной Америки. В наши дни эту форму также используют при строительстве различных сооружений.

В интерьерном дизайне

Малые архитектурные формы в виде шестиугольных пирамид подходят для оформления интерьеров в этническом, восточном или футуристическом стиле. Их можно использовать как декоративные элементы или в качестве основы для ламп, цветочных горшков и других предметов.

Для создания ювелирных украшений

Благодаря своей симметричной форме, правильные шестиугольные пирамиды послужили прообразом для многих ювелирных вставок, таких как «Ильменит» или «Фианит». Их ограняют из драгоценных и полудрагоценных камней.

Решение задач на вычисление объема шестиугольной пирамиды

Рассмотрим примеры типовых задач на нахождение объема правильной шестиугольной пирамиды с подробным решением.

Задача 1

Дана правильная шестиугольная пирамида с высотой 16 см и стороной основания 10 см. Найти ее объем.

Решение:

Подставляем значения h и a в формулу объема:

V = (√3/2)*10^2*16 = 800 см³

Ответ: 800 см³

Задача 2

Апофема основания шестиугольной пирамиды равна 13 см, боковое ребро - 5 см. Найти объем пирамиды.

Решение:

1. Находим высоту пирамиды по теореме Пифагора: h=√(a^2-p^2)
2. Подставляем значения в формулу объема через апофему p и высоту h