Многоэтажные дроби - головоломка для учеников. Но с правильным подходом можно легко научиться их складывать. В статье мы разберем, что такое многоэтажные дроби, правила работы с ними и как их решать в виде пошаговой инструкции.
Что такое многоэтажные дроби
Многоэтажные дроби — это дроби, в числителе или знаменателе которых стоят не просто числа, а другие дроби. Например:
$\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{3}{4}}$
Здесь в числителе стоит дробь $\cfrac{1}{2}$, а в знаменателе — дробь $\cfrac{3}{4}$.
От обычных дробей многоэтажные отличаются тем, что требуют пошагового решения — сначала нужно найти значение числителя, применив правила действий с дробями, затем значение знаменателя, и лишь после этого можно выполнить деление.
В школьной программе многоэтажные дроби начинают встречаться в 5-6 классах при изучении действий с обыкновенными дробями.
Правила работы с многоэтажными дробями
При работе с многоэтажными дробями нужно помнить несколько важных правил:
- Черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления
- Сначала нужно выполнить все действия в числителе, затем в знаменателе
- Если в дроби присутствуют дроби с разными знаменателями, их нужно предварительно привести к общему знаменателю
- По возможности дроби нужно сокращать на максимально возможную величину
Давайте разберем эти правила подробнее.
Замена действия деления на черту дроби позволяет записывать многоэтажные дроби в более компактном виде. Например, вместо:
$(3 + 5):(4 - 2)$
можно написать:
$\cfrac{3 + 5}{4 - 2}$
Это упрощает вычисления.
Далее, нужно помнить, что при решении многоэтажной дроби сначала выполняются все действия в числителе, а затем в знаменателе. Только после этого производится деление. Это обусловлено тем, что черта дроби фактически является знаком деления, которое выполняется последним.
Если в многоэтажной дроби встречаются обыкновенные дроби с разными знаменателями, их предварительно нужно привести к общему знаменателю — как мы делали это в предыдущих уроках. Это необходимо для того, чтобы можно было выполнить сложение или вычитание таких дробей.
И наконец, в процессе решения многоэтажной дроби желательно сокращать дроби по мере возможности. Это позволяет упростить вычисления.
Как решать многоэтажные дроби классическим способом
Рассмотрим подробную пошаговую инструкцию по решению многоэтажной дроби классическим способом.
Допустим, нам нужно найти значение дроби:
$\cfrac{\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3} - \cfrac{1}{2}}$
- Начинаем с числителя. Там стоят две дроби $\cfrac{1}{3}$ и $\cfrac{1}{5}$ с разными знаменателями. Приводим их к общему знаменателю $15$:
$\cfrac{1}{3} = \cfrac{5}{15}$ $\cfrac{1}{5} = \cfrac{3}{15}$ - Подставляем преобразованные дроби в числитель: $\cfrac{5}{15} - \cfrac{3}{15} = \cfrac{2}{15}$
- Теперь переходим к знаменателю. Дроби $\cfrac{2}{3}$ и $\cfrac{1}{2}$ тоже имеют разные знаменатели. Приводим их к общему знаменателю $6$: $\cfrac{2}{3} = \cfrac{4}{6}$ $\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}$
- Подставляем преобразованные дроби в знаменатель: $\cfrac{4}{6} - \cfrac{3}{6} = \cfrac{1}{6}$
- Теперь можно выполнить деление числителя на знаменатель: $\cfrac{\cfrac{2}{15}}{\cfrac{1}{6}} = \boxed{\cfrac{1}{5}}$
Как видите, последовательное применение всех правил позволяет без труда решить даже довольно сложную многоэтажную дробь.
Главное при этом — не спешить и аккуратно выполнять все шаги, не пропуская промежуточных преобразований. Тогда результат будет верным!
Как решать многоэтажные дроби способом дополнительного множителя
Существует еще один способ решения многоэтажных дробей - с использованием дополнительного множителя. Он позволяет быстрее преобразовывать дроби в числителе и знаменателе в целые числа.
Суть способа заключается в том, чтобы "развернуть" все дроби в многоэтажной дроби в целые числа с помощью специально подобранного множителя.
Например, возьмем ту же дробь:
$\cfrac{\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{5}}{\cfrac{2}{3} - \cfrac{1}{2}}$
Чтобы получить из дробей целые числа, их знаменатели должны стать равны 1. Это можно сделать, умножив числитель и знаменатель большой дроби на НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей маленьких дробей.
В нашем случае НОК знаменателей 3, 5, 2 и 3 равно 30. Применим этот множитель:
$\cfrac{(\cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{5}) \cdot 30}{(\cfrac{2}{3} - \cfrac{1}{2}) \cdot 30} = \cfrac{(10 - 6)}{(20 - 15)} = \boxed{\cfrac{1}{5}}$
Как видите, ответ получился такой же, но вычисления заняли меньше времени.
Сравнение двух способов решения многоэтажных дробей
Давайте сравним два описанных выше способа:
- Классический способ требует больше промежуточных вычислений, зато позволяет разобраться в логике решения
- Способ дополнительного множителя быстрее дает ответ, но требует знания правил нахождения НОК
- Результат от обоих способов одинаковый
Таким образом, для начинающих лучше использовать классический алгоритм, а по мере набора опыта переходить к более быстрому варианту.
Рекомендации по изучению многоэтажных дробей
Чтобы легко овладеть навыками работы с многоэтажными дробями, рекомендуем придерживаться следующего плана:
- Повторить правила действий с обыкновенными дробями
- Разобрать примеры простых многоэтажных дробей
- Потренироваться в решении таких дробей классическим способом
- Изучить способ с дополнительным множителем на более сложных примерах
- Закрепить полученные навыки, вычислив многоэтажные дроби в домашних заданиях
При возникающих сложностях всегда можно обратиться к преподавателю или воспользоваться видео-уроками в интернете.
Занимательные задачи с многоэтажными дробями
Чтобы процесс изучения многоэтажных дробей был более увлекательным, предлагаем вашему вниманию несколько занимательных задач.
Задача 1. Некоторое число делится на $\cfrac{7}{9}$ без остатка. Какое это наименьшее число?
Решение. Число делится на дробь без остатка, если оно кратно ее знаменателю. В данном случае знаменатель дроби $\cfrac{7}{9}$ равен 9. Значит, наименьшим числом, кратным 9, является само число 9.
Ответ: 9.
Потренируйтесь вычислить подобные примеры сами!
Примеры занимательных задач на логику
Продолжим тему занимательных задач на многоэтажные дроби.
Рассмотрим несколько примеров, требующих применения логического мышления:
Задача 2. Какую дробь нужно поставить вместо знака вопроса, чтобы получилось верное равенство: $\cfrac{1}{2} + ? = \cfrac{3}{4}$
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 4. Тогда: $\cfrac{1}{2} = \cfrac{2}{4}$ $? = \cfrac{1}{4}$
Ответ: $\cfrac{1}{4}$.
Задача 3. Сколько существует дробей, у которых при сложении получается 2?
Решение. Составим уравнение: $x + y = 2$
Таких пар дробей существует бесконечно много. Например: $\cfrac{3}{2} + \cfrac{1}{2} = 2$ $\cfrac{7}{4} + \cfrac{3}{4} = 2$
Задача 4. Как преобразовать выражение $\cfrac{5 + \cfrac{1}{x}}{4 - \cfrac{3}{y}}$ в многоэтажную дробь, не выполняя никаких вычислений?
Решение. Достаточно заменить знаки сложения на черту дроби: $\cfrac{\cfrac{5}{1} + \cfrac{1}{x}}{\cfrac{4}{1} - \cfrac{3}{y}}$
Попробуйте вычислить похожие логические задачи самостоятельно!
Межпредметные связи многоэтажных дробей
Знания о многоэтажных дробях пригодятся не только на уроках математики, но и других предметах.
Например, в физике часто приходится записывать формулы, содержащие обыкновенные дроби в числителе и знаменателе. Умение преобразовывать такие выражения в многоэтажные дроби упрощает дальнейшие вычисления.
В курсе информатики знание НОК помогает при работе с циклами и алгоритмами.
А на уроках экономики многоэтажные дроби могут описывать сложные финансовые операции, такие как начисление процентов на проценты.
Применение многоэтажных дробей для расчета начисленных процентов
Рассмотрим конкретный пример использования многоэтажных дробей в экономических расчетах.
Допустим, в банке по вкладу в 10 000 рублей ежегодно начисляется 10% годовых сложных процентов. Через 2 года на счете будет:
Первый год: 10 000 * (1 + 0,1) = 11 000 рублей Второй год: 11 000 * (1 + 0,1) = 12 100 рублей
Запишем в виде многоэтажной дроби: 10 000 * $\cfrac{1 + \cfrac{0,1}{1}}{1} \cdot \cfrac{1 + \cfrac{0,1}{1}}{1}$ = 12 100 рублей
Как видите, такая запись позволяет наглядно отразить порядок сложных процентных начислений за 2 года.
