Геометрические проекции - важнейший инструмент для изображения и исследования пространственных объектов. Рассмотрим, что представляют собой проекции в геометрии, какие бывают их виды и где применяются на практике.
Понятие геометрической проекции
Проекцией в геометрии называют изображение пространственной фигуры на плоскости, полученное в результате проведения проекционных лучей. Различают центральную проекцию, когда лучи исходят из одной точки, и параллельную проекцию, когда лучи параллельны.
Частным случаем параллельной проекции является ортогональная проекция, при которой лучи перпендикулярны плоскости проекции. Ортогональные проекции чаще всего используются на практике благодаря их простоте и наглядности.
Рассмотрим на примерах, как выглядят проекции самых простых фигур:
- Проекцией точки является сама эта точка
- Проекцией отрезка прямой является отрезок
- Проекция треугольника - это треугольник, подобный исходному
Основные виды проекций
Существует несколько разновидностей геометрических проекций, отличающихся расположением проекционных лучей.
Аксонометрические проекции
При аксонометрическом проецировании используются косоугольные проекции, благодаря чему сохраняется наглядность изображения. Частные случаи аксонометрии:
- Изометрия - все направления искажены одинаково
- Диметрия - одно направление не искажено
Аксонометрия позволяет достаточно просто изображать объемные фигуры - кубы, призмы, пирамиды:
| Куб в изометрии | Призма в диметрии |
Прямоугольное проецирование
При прямоугольном проецировании используются ортогональные проекции - проецирующие лучи перпендикулярны плоскостям проекций. Это наиболее простой и распространенный вид.
Косоугольное проецирование
Косоугольная проекция отличается от ортогональной тем, что проецирующие лучи наклонены к плоскости под некоторым углом. Применяется реже из-за большей сложности.
Различные виды проекций используются в зависимости от поставленных задач. Например, в черчении чаще применяется ортогональное проецирование, а в архитектурной графике - аксонометрическое.
Построение проекций на практике
Чтобы построить проекцию заданного пространственного объекта, нужно выполнить следующие действия:
- Выбрать вид проекции (ортогональная, косоугольная и т.д.)
- Задать положение плоскостей проекций
- Провести проекционные лучи из каждой точки объекта
- Определить точки пересечения лучей с плоскостями проекций
- Соединив точки пересечения, получить проекционные изображения исходного объекта
На практике для ускорения процесса используют специальные графические пакеты, позволяющие строить проекции заданных моделей за считанные минуты.
Рассмотрим на конкретном примере пошаговое построение трех проекций детали с вырезами и фасками:
Здесь последовательно выполнены все этапы - от выбора расположения плоскостей проекций до получения готовых изображений детали.
Проекции в науке и технике
Геометрические проекции находят широкое применение в различных областях науки и техники.
Картографические проекции
В картографии используются разнообразные проекции Земли и других планет - цилиндрические, конические, азимутальные. Каждая проекция обладает своими достоинствами и недостатками.
Что такое проекция в архитектуре?
В архитектуре и строительстве применяются преимущественно ортогональные проекции. С их помощью строятся чертежи фасадов, разрезов, планов зданий и сооружений.
Медицинские проекции
В медицинской визуализации используются томографические проекции, позволяющие получать изображения внутренних органов и систем человека в различных сечениях.
Проекционные методы контроля
Существуют проекционные методы неразрушающего контроля качества деталей, основанные на анализе их рентгеновских проекций.
Что такое проекция в искусстве?
В изобразительном искусстве используются различные художественные приемы, основанные на геометрических проекциях и их искажениях. Рассмотрим некоторые примеры.
Анаморфозы
Анаморфозы - это искаженные проекции, которые преобразуются в реалистичное изображение при взгляде под определенным углом или с использованием специальных оптических приспособлений.
Изометрическая проекция в живописи
Изометрическая проекция часто использовалась художниками эпохи Возрождения для передачи глубины пространства на плоском холсте.
Тромплей
Тромплей - художественный эффект, основанный на использовании иллюзорной перспективы. Благодаря искажению пропорций создается впечатление, что плоское изображение является объемным.
Проекции в кинематографе
В киноиндустрии применяются различные трюки, основанные на искажении привычных проекций. Например, съемка со специально подобранных ракурсов позволяет создавать иллюзию гигантских размеров объектов.
Любопытные факты о проекциях
Рассмотрим несколько интересных исторических фактов и математических парадоксов, связанных с геометрическими проекциями.
Проекции в античности
Уже древнегреческие математики изучали свойства перспективных проекций. В частности, Евклид в своих трудах рассматривал отображение объектов на плоскости.
Оптические иллюзии
Существует множество зрительных иллюзий, основанных на особенностях восприятия перспективы и проекций. Например, в следующем рисунке все линии параллельны, хотя кажется, что они сходятся:
Парадокс Банаха — Тарского
В математике существует парадокс, состоящий в том, что сферу можно разрезать на конечное число частей, а затем составить из них две сферы того же объема, что и исходная.
Проекции в искусстве Древнего Египта
В древнеегипетской живописи и скульптуре использовались преимущественно уплощенные изображения с сильно искаженными пропорциями. Это было обусловлено религиозными верованиями и канонами изобразительного искусства.
Проекция как символ веры
В Средневековье считалось, что реалистичное изображение перспективы и объема умаляет духовную ценность произведений искусства. Поэтому в иконописи преобладали условные плоские изображения.
Золотое сечение и перспектива
При построении перспективы в эпоху Возрождения художники зачастую опирались на пропорции золотого сечения, которые придавали картинам особую гармоничность.
Современное использование
В наши дни компьютерная графика позволяет с легкостью манипулировать проекциями, создавая поразительные визуальные эффекты.
3D-моделирование
В трехмерном моделировании широко применяются разнообразные виды проекций для визуализации объектов.
Дополненная реальность
Технологии дополненной реальности основаны на наложении виртуальных объектов на изображение реального мира, что достигается с помощью проецирования графики на видеопоток с камеры.
Голографические проекции
Голография позволяет создавать реалистичные трехмерные проекции объектов в пространстве. Этот эффект достигается за счет записи и воспроизведения волнового фронта света от объекта.
Проекции в образовании
Изучение различных видов геометрических проекций является важной частью подготовки инженеров, архитекторов, дизайнеров, художников.
Черчение
В курсе черчения подробно разбираются способы построения и чтения чертежей деталей с использованием ортогональных проекций.
Компьютерная графика
При обучении компьютерной графике и 3D-моделированию важное место отводится работе с проекциями различных геометрических объектов.
