Что такое целое число в математике: краткое объяснение и примеры

Целые числа - одно из фундаментальных понятий математики, с которым сталкивается каждый. Но что же они из себя представляют? Давайте разберемся!

1. Определение целых чисел

Формально, целые числа - это расширение множества N натуральных чисел, полученное путем добавления к нему числа 0 и отрицательных чисел.

Целые числа обозначаются буквой Z. Это множество включает в себя:

• Натуральные числа (1, 2, 3, ...)
• Число 0
• Отрицательные числа (-1, -2, -3, ...)

То есть целыми числами являются как положительные числа без дробной части, так и отрицательные числа, а также нуль. Некоторые примеры целых чисел:

1. 38
2. -125
3. 0
4. -1 341 232

На числовой прямой целые числа изображаются следующим образом: положительные числа - правее нуля, отрицательные - левее, а сам нуль находится в начале отсчета:

Помимо положительных и отрицательных чисел, выделяют также неотрицательные (>= 0) и неположительные (<= 0) целые числа.

2. Арифметические операции

С целыми числами можно производить такие арифметические операции, как:

• Сложение и вычитание
• Умножение
• Деление с остатком
• Возведение в степень
• Сравнение

При сложении и вычитании действуют правила знаков:

1. Плюс и минус дают минус:
   -3 + 5 = 2
2. Минус и минус дают плюс: -5 + (-2) = -7

Аналогичные правила знаков применимы и при умножении целых чисел. Кроме того, справедливы свойства коммутативности и ассоциативности как для сложения/вычитания, так и для умножения.

При возведении в степень показатель степени может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом. Например:

• 2³ = 8
• (-3)² = 9
• 2^-1 = 0,5

Операция деления целых чисел отличается от деления вещественных тем, что помимо частного возвращает еще и остаток. Например, 15 / 4 = 3 остаток 3.

3. Сравнение целых чисел

Целые числа можно сравнивать между собой при помощи знаков неравенства: > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно). При сравнении учитываются как знаки чисел, так и их абсолютные значения. Например:

• -5 < -3 (минус 5 меньше минус 3)
• 2 > -2 (2 больше -2)
• 0 >= -5 (0 больше или равно -5)

4. Зачем нужны целые числа

Главное предназначение целых чисел - описывать изменения количеств или величин. Рассмотрим на примерах.

Допустим, у нас было 10 яблок. К этому количеству мы добавили еще 5 яблок. Тогда положительное целое число +5 выражает увеличение первоначального количества яблок на 5.

А если из первоначальных 10 яблок мы съели 3 яблоки, то отрицательное число -3 показывает уменьшение количества яблок на 3.

Целые числа удобны тем, что их знак однозначно определяет направление изменения:

• Положительное число - увеличение
• Отрицательное число - уменьшение
• Нуль - отсутствие изменений

5. Историческая справка

Понятие целого числа формировалось постепенно на протяжении многих веков с усовершенствованием математических знаний.

Сначала люди оперировали только натуральными числами для счета и вычислений. Потом был открыт нуль, расширивший возможности математики. А уже значительно позже появилось понимание отрицательных чисел.

6. Применение целых чисел

Целочисленные модели широко используются в реальных задачах:

• Показания термометра (градусы по Цельсию)
• Финансовые расчеты (доходы, расходы, прибыли и убытки)
• Спортивные результаты (очки, голы, секунды)

Кроме того, в основе работы компьютеров лежат именно целые числа, так как информация в них представляется в двоичном виде - системе с основанием 2. Поэтому большинство языков программирования изначально оптимизированы для работы с целыми числами.

7. Операции в программировании

Как уже упоминалось ранее, целые числа широко используются в программировании. Давайте рассмотрим на конкретном примере, как с ними можно работать в коде.

Возьмем язык программирования Python. В нем есть несколько целочисленных типов данных:

• int - обычные целые числа
• long - целые с неограниченной точностью

Можно объявить целочисленные переменные и выполнять с ними арифметические операции:

a = 10 b = 5 print(a + b) # 15 print(a - b) # 5 print(a * b) # 50

Также в Python есть встроенные функции для работы с целыми числами, например:

• abs(a) - абсолютное значение числа
• pow(a, b) - возведение в степень
• divmod(a, b) - деление с остатком

8. Решение задач с целыми числами

Рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с использованием целых чисел:

• Определить, является ли число четным или нечетным
• Посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до n
• Найти количество и сумму всех целых чисел на заданном отрезке числовой прямой

Для решения таких задач нужно использовать операции с целыми числами, свойства нуля и отрицательных чисел, правила сравнения, возведения в степень и т.д. Это отличный способ развить логическое мышление и навыки программирования.