Плоскость с координатами - удобный математический инструмент для определения положения точек. Оси X и Y, пересекаясь под прямым углом, образуют систему отсчета. А зная точки пересечения с осями, можно точно локализовать любую точку на плоскости.
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей - оси абсцисс X и оси ординат Y. Их пересечение определяет начало координат или точку 0.
Ось X располагается горизонтально, она направлена слева направо. Ось Y идет вертикально снизу вверх. Обе оси размечены единичными отрезками одинаковой длины для удобства отсчета координат.
Положительное направление на осях показано стрелками, а отрицательное - в противоположную сторону от начала координат.
В результате плоскость делится осями координат на 4 части, называемые координатными четвертями или квадрантами. Их принято обозначать римскими цифрами против часовой стрелки.
Координаты точки на плоскости
Любой точке на координатной плоскости можно сопоставить упорядоченную пару чисел - ее координаты. Первое число - абсцисса - соответствует положению по горизонтальной оси X. Второе - ордината - определяет высоту по вертикальной оси Y.
- Чтобы найти координаты, нужно:
- Опустить из точки перпендикуляр на ось X
- Посмотреть координату точки пересечения - это и есть абсцисса X
- Аналогично опускаем перпендикуляр на ось Y
- Координата на оси Y - это ордината данной точки
Точки, лежащие на одной из осей координат, имеют нулевое значение соответствующей координаты - абсциссы или ординаты.
Начало координат всегда имеет координаты (0; 0). А заданную точку можно легко отыскать или построить по известным координатам.
Линии на координатной плоскости
Линии на декартовой плоскости могут задаваться уравнением. Например, график оси координат имеет вид:
А прямая линия описывается линейным уравнением с двумя неизвестными:
| y = kx + b |
Здесь точки пересечения с осями координат легко находятся приравниванием одной из переменных к нулю. И по ним также можно определить координаты любой точки на этой прямой.
Фигуры в системе координат
Различные геометрические фигуры также могут быть определены в декартовой системе координат через координаты своих характерных точек.
Например, окружность задается уравнением:
Здесь (h;k) - координаты центра, а R - радиус. Подставляя конкретные значения, можно построить окружность в заданной точке с заданным радиусом.
Преобразования фигур на плоскости
Изображения на координатной плоскости можно преобразовывать различными способами. Например, путем параллельного переноса вдоль осей на заданное расстояние.
Также можно отразить фигуру зеркально относительно одной из осей координат или начала координат. Это называется осевой или центральной симметрией соответственно.
Векторы на координатной плоскости
Вектор на плоскости также имеет две координаты и геометрически изображается как направленный отрезок от начала координат до заданной точки. Координаты этой конечной точки и будут координатами оси ОХ и оси OY данного вектора.
С векторами в декартовой системе можно выполнять различные операции: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Все это сводится к соответствующим операциям над их координатами.
Пространство в трехмерных координатах
Для описания объектов не на плоскости, а в трехмерном пространстве используется расширенная система координат с тремя взаимно перпендикулярными осями X, Y и Z.
Здесь каждая точка имеет три координаты: X, Y и Z. Положение линий, поверхностей и объемных тел в пространстве также задается через эти трехмерные координаты.
Применение системы координат
Декартова система координат с ее численным представлением точек плоскости и пространства является фундаментальным инструментом во многих областях науки, техники, искусства.
Координатные оси на плоскости
Рассмотрим более подробно сами оси координат X и Y, которые образуют прямоугольную систему на плоскости. Как уже говорилось, они взаимно перпендикулярны и имеют одинаковый масштаб деления.
Обычно оси проводятся через наиболее удобные значения координат - целые числа, что упрощает последующие вычисления и построения. Но иногда используются и дробные деления для большей точности.
Построение графиков функций
Одно из важнейших применений координатной плоскости - это визуализация функциональных зависимостей в виде графиков. Задав формулу y=f(x), можно получить соответствующую кривую на плоскости.
Графики позволяют наглядно представить характер изменения одной величины в зависимости от другой. Это широко используется в математике, физике, экономике, статистике и других науках.
Решение уравнений и неравенств
Еще одно важное применение - решение различных уравнений и неравенств с двумя неизвестными. Координатная плоскость дает геометрическую интерпретацию множеств решений.
Уравнения прямых и кривых на плоскости соответствуют точкам их пересечения. А неравенства - областям, удовлетворяющим заданным ограничениям на координаты.
Компьютерная графика и анимация
В компьютерных играх и мультфильмах все объекты и их траектории описываются при помощи систем координат. По сути любая компьютерная графика опирается на математическое представление точек на плоскости экрана.
Без этого невозможно было бы воссоздать реалистичные трехмерные миры и управлять персонажами в виртуальном пространстве. Да и сами экраны являются плоскостями с декартовой системой координат.
Примеры применения координат
Рассмотрим несколько конкретных примеров использования декартовой системы координат в различных областях.
Описание движения
В физике координаты X и Y позволяют записывать уравнения траекторий движения тел. Например, при равноускоренном движении вдоль оси X скорость и координата точки меняются по параболическому закону.
Навигация и картография
В географии широта и долгота - это координаты, определяющие положение любой точки на поверхности Земли. Аналогично определяются координаты объектов на небесной сфере в астрономии.
Компьютерная графика
Для кодирования изображений и видео используется растровая и векторная графика. В обоих случаях цвет каждого пикселя экрана задается его координатами X и Y в декартовой системе отсчета.
Аналитическая геометрия
В математике координатное представление точек плоскости и пространства позволяет переводить геометрические объекты в численную форму. Это открывает возможность изучения их свойств аналитическими методами.
Статистика и эконометрика
При анализе данных широко используются разнообразные графики - линейчатые, круговые, рассеяния и пр. В их основе лежит визуализация численных показателей с помощью декартовой системы координат.
