Криволинейные трапеции являются удивительными математическими объектами, скрывающими много интересных свойств. Давайте попробуем разобраться, что представляют собой эти фигуры и почему они так притягательны для многих людей.
Что такое криволинейная трапеция
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной функции, не меняющей знака на заданном отрезке, двумя вертикальными отрезками-ограничителями и осью абсцисс. Иными словами, эта фигура находится под кривой графика функции и имеет "криволинейную крышу". Отсюда и название.
Криволинейная трапеция это частный случай обычной трапеции, у которой вместо одной из параллельных сторон используется дуга кривой.
Свойства криволинейной трапеции:
- Функция, ограничивающая сверху, должна быть непрерывной
- Функция не меняет знак на заданном отрезке [a;b]
- Имеет две вертикальные границы при x = a и x = b
- Опирается снизу на ось абсцисс (ось X)
Рассмотрим несколько конкретных примеров таких фигур:
- Трапеция, ограниченная параболой $y = x^2 + 2x + 1$
- Трапеция под графиком $y = \sin x$
- Трапеция, заданная функцией $y = \sqrt{x}$
Как видим, криволинейных трапеций существует огромное многообразие в зависимости от вида функции. Это открывает большие возможности для изучения их свойств.
Вычисление площади
Одним из важнейших параметров криволинейной трапеции является ее площадь. Чтобы найти площадь, используется специальная формула:
S = ∫ab f(x) dx
Это и есть знаменитая формула Ньютона-Лейбница. Она позволяет вычислить площадь, зная функцию f(x). Рассмотрим подробнее разные случаи применения этой формулы.
Тип 1: Трапеция задана явно
В этом случае функция и границы трапеции указаны непосредственно в условии задачи. Достаточно просто подставить все данные в формулу Ньютона-Лейбница и вычислить интеграл.
Например, найти площадь трапеции под функцией $y = x^2 - 3x + 1$, ограниченной линиями $x = -1$ и $x = 2$.
Решение будет следующим:
S = ∫-12 (x2 - 3x + 1) dx = 5 ед2
Как видим, все довольно просто. Главное - правильно определить функцию и пределы интегрирования.
Тип 2: Трапеция задана неявно
В этом случае функция задана, но границы трапеции не указаны явно. Их нужно определить, найдя точки пересечения функции с осью X.
Например, дана функция $y = 1 - x^2$. Требуется найти площадь фигуры под ней. Сначала находим точки пересечения с осью X:
- $1 - x^2 = 0$
- $x = -1; \ x = 1$
Это и есть границы нашей трапеции. Далее применяем стандартную формулу вычисления площади криволинейной трапеции:
S = ∫-11 (1 - x2) dx = 4/3 ед2
Тип 3: Пересечение двух функций
Бывают случаи, когда вместо криволинейной трапеции задана фигура, ограниченная пересечением двух функций. Тогда сначала также находят точки их пересечения как границы интегрирования. А затем вычисляют площадь отдельно под каждой функцией и находят разность этих площадей.
Тип 4: Функция меняет знак
Если функция, ограничивающая трапецию, меняет знак на заданном отрезке, то сначала нужно построить симметричное отображение этой области относительно оси X. А затем уже вычислять площадь полученной фигуры по стандартным правилам.
Допустим, дана функция $y = x^2 - 1$, пересекающая ось X в точках X = -1 и X = 1. Чтобы найти площадь, применяем следующие действия:
- Зеркально отображаем область относительно оси X
- Получаем функцию $y = 1 - x^2$
- Вычисляем площадь под ней от -1 до 1
В итоге площадь исходной фигуры будет равна найденной площади отображения.
