Решение квадратных уравнений - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. От того, насколько хорошо усвоены соответствующие формулы и методы, часто зависит успех в изучении более сложных разделов математики. Давайте разберемся, как с помощью дискриминанта находить корни квадратного уравнения, то есть значения переменных х1 и х2.
Основные понятия
Напомним определения ключевых терминов:
- Квадратное уравнение имеет вид
ax2 + bx + c = 0, где a, b и c - заданные числа, а x - неизвестная переменная. - Дискриминант (D) вычисляется по формуле
D = b2 - 4ac. - Корни уравнения обозначаются как x1 и x2.
То есть для нахождения ответа нам потребуются коэффициенты a, b и c из уравнения. Давайте теперь перейдем к основным формулам.
Формулы для вычисления х1 и х2 через дискриминант
Существует два варианта формул для нахождения корней квадратного уравнения. Какую из них применить - зависит от знака дискриминанта D:
- Если D > 0, то формулы для корней:
x1 = (-b + √D) / 2ax2 = (-b - √D) / 2a - Если D = 0, то формула для корня:
x = -b / 2a
Эти две формулы и есть основа для нахождения х1 и х2 в квадратном уравнении при помощи дискриминанта. Давайте разберем конкретные численные примеры.
Примеры решения уравнений
Рассмотрим задачу:
Решить уравнение
2x2 - 5x - 3 = 0, то есть найти х1 и х2.
По условию:
- a = 2
- b = -5
- c = -3
Вычисляем дискриминант:
D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49
Получено, что D > 0. Значит, применяем первый вариант формул:
х1 = (-b + √D) / 2a = (-(-5) + 7) / 2·2 = 3
х2 = (-b - √D) / 2a = (-(-5) - 7) / 2·2 = -1
Ответ: x1 = 3; x2 = -1.
Как видно на этом численном примере, с помощью дискриминанта и соответствующих формул можно довольно просто найти корни квадратного уравнения, то есть значения переменных х1 и х2.
Как применить на практике
Умение решать квадратные уравнения через дискриминант пригодится не только для сдачи экзаменов по алгебре. Этот навык применим во многих реальных ситуациях.
Например, при расчетах:
- объемов геометрических фигур;
- движения и скорости объектов;
- прибыли и убытков;
- процентных ставок банковских вкладов.
То есть эта тема имеет большое практическое значение. Надеюсь, моя статья помогла вам лучше разобраться в формулах дискриминанта и алгоритме нахождения переменных х1 и х2 при решении квадратных уравнений.
Помимо метода с использованием дискриминанта, существуют и другие способы нахождения корней квадратного уравнения.
Формула Виета
Один из распространенных подходов - это применение формул Виета. Суть метода заключается в следующих соотношениях между корнями и коэффициентами уравнения:
- x1 + x2 = -b/a
- x1·x2 = c/a
Где x1 и x2 - корни; a, b и c - коэффициенты уравнения. Подставляя числовые значения, можно найти сами корни.
Разложение на множители
Еще один метод заключается в представлении левой части уравнения в виде произведения двух множителей:
ax2 + bx + c = (x - x1)(x - x2)
Где x1 и x2 - искомые корни. Далее производятся соответствующие преобразования и находятся значения корней.
Интересный вопрос - как именно корни квадратного уравнения зависят от значений коэффициентов a, b и c? Рассмотрим это на примерах.
Влияние коэффициента a
Пусть исходное уравнение имеет вид: x2 - 6x + 8 = 0. Его корни равны 2 и 4.
Если увеличить a в 3 раза, получим: 3x2 - 6x + 8 = 0. Новые корни: x1 = 1; x2 = 2. То есть значения корней уменьшились.
Вывод: чем больше коэффициент a, тем меньше по модулю корни уравнения.
Влияние коэффициента b
Возьмем уравнение x2 - 4x + 4 = 0 с корнями 2 и 2. При увеличении коэффициента b до 6 получим уравнение x2 - 6x + 4 = 0 с корнями 3 и 1.
Вывод: при увеличении b один корень становится больше, а другой - меньше.
Применение при решении задач
Рассмотрим такую задачу:
Требуется определить, при каком значении параметра а уравнение
ax2 + 6x + 8 = 0будет иметь равные корни.
Из условия:
- b = 6
- c = 8
При равных корнях x1 = x2 дискриминант равен нулю. Тогда получаем уравнение:
D = b2 - 4ac = 0
36 - 4·a·8 = 0
a = 1
Ответ: a = 1
Рассмотрим типичные ошибки, которые допускают при нахождении дискриминанта и вычислении корней квадратного уравнения.
Неверный расчет дискриминанта
Одна из распространенных ошибок - неправильно определить значение дискриминанта D. Это может произойти в случае:
- опечатки при подстановке коэффициентов a, b и c в формулу;
- неверного возведения в квадрат числа b;
- неправильного порядка действий в формуле (например, сначала умножение/деление, потом сложение/вычитание).
Поэтому при вычислении D нужно быть особенно внимательным и все делать по порядку.
Неправильный выбор формулы для корней
Другая распространенная ошибка - подстановка корней в неподходящую формулу. Например, применена формула для случая D > 0, а на самом деле D = 0.
Чтобы этого избежать, обязательно сначала найти D и только потом определить, какая формула подходит.
Неверный порядок действий при подстановке
Помимо неправильного выбора формулы, еще одна распространенная ошибка - неаккуратность при вычислении по конкретной формуле. Это может выражаться в:
- неверном порядке действий при подстановке значений (сначала корень, потом скобки);
- пропуске нужных действий (например, забыли разделить на 2a);
- арифметических ошибках в вычислениях.
Поэтому после подстановки нужно еще раз внимательно проверить ход решения.
Проверка найденных корней
Чтобы удостовериться в правильности полученных при решении значений х1 и х2, можно подставить их обратно в исходное уравнение. Если при подстановке левая и правая части уравнения равны, то корни найдены верно.
Рассмотрим на конкретном численном примере. Пусть задано уравнение: 2x2 - 5x - 3 = 0. Решили его и получили х1 = 3, х2 = -1. Подставляем эти значения:
При x = 3: 2·32 - 5·3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0
При x = -1: 2·(-1)2 - 5·(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 0
Левая и правая части уравнений равны, следовательно корни найдены верно.
