Векторы - это важный математический аппарат, используемый во многих областях науки и техники. Умение вычислять векторы по формулам необходимо для решения широкого круга прикладных задач.
Базовые понятия и обозначения
Давайте начнем с определения основных понятий. Вектор - это направленный отрезок, который задается длиной и направлением. В отличие от скаляра, вектор имеет не только численное значение, но и направление.
Различают свободные векторы, которые можно переносить в пространстве, не меняя их свойств, и связанные векторы, жестко привязанные к определенной точке. Если два вектора лежат на одной прямой, они называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости, являются компланарными.
Графически вектор изображается как направленный отрезок AB. Для обозначения векторов чаще всего используются жирные строчные (ϐ) или прописные (ϒ) буквы латинского и греческого алфавитов. Длина вектора ϐ обозначается как |ϐ| и вычисляется по формуле для длины вектора:
Где x1, x2 - координаты конца вектора, x10, x20 - координаты начала вектора.
Основные операции над векторами и их формулы
Рассмотрим основные операции, которые можно производить с векторами, и формулы для их вычисления.
Сложение векторов
Сложение векторов представляет собой последовательное выполнение этих векторов. Геометрически сложение векторов ϐ и ϒ изображается так:
По правилу треугольника получаем формулу для суммы двух векторов:
Например, пусть ϐ=(3, 2), ϒ=(-5, 4). Тогда:
Итак, сумма векторов ϐ и ϒ равна вектору (3 - 5, 2 + 4) = (-2, 6).
Разность векторов (формула)
Вычитание векторов определяется как сложение первого вектора и второго, взятого с противоположным знаком:
ϐ - ϒ = ϐ + (-ϒ)
Отсюда получаем формулу разности двух векторов:
Рассмотрим на числовом примере. Пусть ϐ=(4, -3), ϒ =(1, 5). Тогда их разность равна:
Таким образом, разность ϐ - ϒ = (4 - 1, -3 - 5) = (3, -8).
Приложения формул векторов для решения задач
Рассмотрим применение векторных формул в различных прикладных задачах.
Пусть тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. Тогда для расчета его скорости ϐ(t) в момент времени t можно использовать формулу:
где ϐ0 - начальная скорость в момент t=0, ϑ = const - ускорение тела.
Например, поезд трогается с места (ϐ0=0) с ускорением 0,5 м/с2. Найдем его скорость через 10 секунд:
Итак, используя векторную формулу движения с ускорением, мы получили скорость поезда v=5 м/с через 10 секунд после начала движения.
