Пошаговая инструкция: как правильно вынести множитель из-под знака корня

Здравствуйте, уважаемые читатели! В этой статье вы узнаете, как грамотно выполнять операцию вынесения множителя из-под знака корня.

Зачем нужно выносить множитель из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня - это математическая операция, которая заключается в замене выражения вида √Bn · C на эквивалентное ему произведение B · √C, где n - некоторое число.

Такая замена позволяет упростить сложные иррациональные выражения, содержащие корни. Это удобно при решении различных задач:

• уравнений и неравенств;
• нахождении производных сложных функций;
• преобразовании физических и химических формул.

Как правильно выносить множитель из-под знака корня

Рассмотрим три основных случая вынесения множителя:

1. При нечетном показателе степени под знаком корня;
2. При четном показателе степени;
3. При квадратном корне (показатель степени равен 2).

Случай 1. Нечетный показатель степени

Если под знаком корня стоит произведение Bn · C, где n - нечетное число, то множитель B можно вынести по формуле:

√Bⁿ · C = B · √C

Например, выражение √93 · 5x можно преобразовать так:

1. 9³ = 729;
2. √729 · 5x = 27 · 5x;
3. Выносим множитель: √9³ · 5x = 9 · √5x.

Случай 2. Четный показатель степени

При четном показателе степени под корнем используется формула:

√Bⁿ · C = |B| · √C

Например:

1. √(-2)⁴ · 5 = 2 · √5;
2. √4⁶ · x² = 4 · |x|.

Случай 3. Квадратный корень

При квадратном корне (n = 2) множитель выносится по правилу:

√B² · C = B · √C

Например:

• √25 · 3x = 5 · √3x
• √(x - 4)² · (3x + 1) = |x - 4| · √(3x + 1)

Таким образом, выполняя вынесение множителя из-под корня, нужно:

1. Определить показатель степени n под корнем;
2. В зависимости от четности n выбрать формулу для вынесения;
3. Провести преобразование по формуле.

Потренируйтесь вынести множитель из под корня на конкретных примерах - и быстро освоите этот полезный навык!

Как привести выражение под корнем к удобному виду

Часто перед вынесением множителя нужно предварительно преобразовать само подкоренное выражение, чтобы привести его к виду Bn · C. Рассмотрим несколько методов.

Метод 1. Разложение на множители

Если под корнем стоит число, его можно разложить на простые множители. Например:

• √120 = √2³ · 3¹ · 5¹ = 2 · √15
• √192 = √2⁶ · 3¹ = 4 · √12

Метод 2. Представление степени в виде произведения степеней

Степень с одинаковыми основаниями можно представить как произведение степеней. Например:

• 2¹² = 2⁹ · 2³
• 5¹⁵ = 5¹⁰ · 5⁵

Это позволяет выделить множители:

• √2¹² · x = √(2⁹ · 2³) · x = 2³ · √2⁹ · x

Метод 3. Представление выражения в виде дроби

Если под корнем стоит отношение (дробь), можно вынести множитель из числителя или знаменателя после их разложения на множители. Например:

• √(3/5) = √(3¹/2² · 5¹) = 1/2 · √(3/5)

Таким образом, применяя разные методы преобразования, можно привести выражение под корнем к нужному виду и вынести множитель.

Общие рекомендации по вынесению множителя

Рассмотрим несколько полезных советов, которые помогут вам уверенно выполнять операцию вынесения множителя из-под корня.

Совет 1. Выбирайте простой множитель

Если под корнем стоит произведение нескольких множителей, выбирайте для вынесения самый простой из них. Например:

• √144x²y = 12 · √x²y

Здесь удобнее вынести число 12, чем более сложное выражение 144.

Совет 2. Выносите поэтапно

Если нужно вынести сразу несколько множителей, делайте это поэтапно. Например:

1. √64x⁴y² = 8 · √8x⁴y²
2. 8 · √8x⁴y² = 8 · 2 · √2x⁴y²

Совет 3. Учитывайте значения

Если значения подкоренных выражений могут быть отрицательными, используйте модули и абсолютные значения:

• √(x - 5)² = |x - 5| · √1

Это поможет избежать ошибок при вынесении множителей.

Особые случаи вынесения множителя

Вынесение из корней высших степеней

Рассмотрим особенности вынесения множителей из корней степени выше второй.

При нечетном показателе степени используется формула:

√[n]Bⁿ · C = B · √[n]C

Например:

• √[3]8³ · 27x = 2 · √[3]27x
• √[5]32⁵ · y = 2 · √[5]y

При четных степенях применяется правило:

√[n]Bⁿ · C = |B| · √[n]C

К примеру:

• √[4](-3)⁴ · x² = 3 · √[4]x²

Вынесение из корней отношений и дробей

Если под знаком корня стоит отношение (дробь), применяют правило:

√(A/B) = √(A¹/B¹) = (√A)/(√B)

После разложения числителя и знаменателя на множители, один из них можно вынести:

• √(3/10) = √(3¹/2¹ · 5¹) = 1/√2 · √(3/5)

Выводы

В этой подробной инструкции вы узнали, как вынести множитель из-под знака корня. Разобраны формулы и правила для разных случаев - при нечетной и четной степени, при квадратном корне. Показан алгоритм действий и методы преобразования сложных выражений. Приведены примеры с пояснениями. Даны полезные советы и рассмотрены особые ситуации. Читайте и осваивайте этот важный математический навык.