В геометрии кругом называют часть плоскости, которая ограничена окружностью. Слово, обозначающее раздел математики, по описаниям, оставленным древнегреческим историком Геродотом, произошло от греческих слов «гео» — земля и «метрио» — измеряю. В древние времена после каждого разлива реки Нил людям приходилось заново размечать участки плодородной земли на его берегах. Окружность же является замкнутой кривой, а все точки, на ней лежащие, равноудалены от центра на расстояние, называемое радиусом (он соответствует половине диаметра — линии, соединяющей две точки окружности и проходящей через ее центр). Считается, что тот, кто не изучил свойства окружности, не умеет определять ее длину или не может ответить на вопрос, «как вычислить площадь круга?», еще не знает геометрии. Так как самые красивые, трудные и интересные теоремы связаны именно с окружностью.
Окружность считается «колесом геометрии». Его ось всегда находится от поверхности, по которой оно катится, на одном расстоянии — это одно из главных свойств. Другое важное свойство окружности заключается в том, что площадь ею очерченная — круг — будет максимальной по сравнению с площадью других фигур, очерченных ломаными линиями, длина которых равна длине окружности. Как найти площадь круга? При ответе на это вопрос следует вспомнить об одной математической постоянной: в геометрии и математике имеет огромное значение число π (греческую букву следует произносить, как пи), которое показывает, что длина окружности в 3,14159 раз больше ее диаметра: L = π • d = 2 • π•r (d — диаметр, r — радиус). То есть, для окружности с диаметром 1 метр, длина будет равняться 3,14159 м. Поиск точного значения этого трансцендентного числа имеет свою интересную историю, которая шла параллельно с развитием математики.
Число π используется также для расчета площади круга. Всю историю этого числа условно делят на три периода: древний период (геометрический), классическая эра и новое время, связанное с появлением цифровых компьютеров. Еще древнеегипетские, вавилонские, древнеиндийские и древнегреческие геометры знали, что соотношение длины окружности и диаметра немного больше 3. Именно это знание помогло ученым древности установить формулу площади круга. Так как значение числа π известно, то можно найти площадь круга, подставив в формулу: S = π • r2, квадрат ее радиуса r. Ученые в разные времена (но Архимед, еще в 3 веке до нашей эры, в этом вопросе был первым) использовали множество способов для установления числа π, и сегодня поиск методов продолжается, его вычисляют на компьютерах. Точность, с которой оно рассчитано в 2011 году, достигла десяти триллионов знаков.
Формулы, показывающие, как найти площадь круга или как найти длину окружности, известны любому старшекласснику. Они на протяжении тысячелетий использовались математиками и квалифицированными специалистами-вычислителями, так как интерес все более точного определения числа π стал походить на математический спорт, с помощью которого в наше время демонстрируются возможности и преимущества программ и компьютеров. Древние египтяне и Архимед считали, что число π находится в пределах от 3 до 3,160. Арабскими математиками было доказано, что оно равняется 3,162. Китайский ученый Чжан Хэн во 2 веке нашей эры уточнил его значение ≈ 3,1622 и так далее — поиски продолжаются, но сегодня они обретают новый смысл. Так, например, приближенное значение 3,14 совпадает с неофициальной датой 14 марта, которое считается праздником числа π.
Площадь круга, зная радиус и используя приближенное значение числа π, легко можно посчитать. Но, как найти площадь круга, если неизвестен его радиус? В простейшем случае, если площадь можно разбить на квадраты, то ее приравнивают к числу квадратов, но в случае с кругом этот способ не подходит. Поэтому для решения задачи, содержащейся в вопросе «как найти площадь круга?», используют инструментальные методы. Численную характеристику двумерной геометрической фигуры, показывающую ее размер, находят с помощью палетки или планиметра.
