Матрицы и детерминанты были обнаружены в восемнадцатом и девятнадцатом веках. Первоначально их развитие касалось преобразования геометрических объектов и решения систем линейных уравнений. Исторически сложилось так, что ранний акцент делался на детерминанте. В современных методах обработки линейной алгебры, матрицы считаются первыми. Стоит немного поразмышлять над этим вопросом.
Ответы, которые дает данная область знаний
Матрицы обеспечивают теоретически и практически полезный способ решения многих проблем, таких как:
- системы линейных уравнений;
- равновесие твердых тел (в физике);
- теория графов;
- модель экономики Леонтьева;
- лесное хозяйство;
- компьютерная графика и томография;
- генетика;
- криптография;
- электрические сети;
- фрактал.
По сути, алгебра матриц для "чайников" имеет упрощенное определение. Оно выражено так: это научная область знаний, в которой рассматриваемые значения изучаются, анализируются и исследуются в полной мере. В этом разделе алгебры изучаются различные операции над исследуемыми матрицами.
Как работать с матрицами
Эти значения считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и каждый элемент одной равен соответствующему элементу другой. Есть возможность умножить матрицу на любую константу. Эта данность называется скалярным умножением. Пример: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Матрицы того же размера могут быть добавлены и вычтены входами, а значения совместимых размеров могут быть умножены. Пример: добавить две A и B: A=[21−10]B=[1423]. Это возможно, так как A и B – обе матрицы имеют две строки и столько же колонок. Необходимо добавлять каждый элемент в A к соответствующему элементу в B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Аналогично вычитают в алгебре матрицы.
Умножение матриц происходит немного иначе. Причем, случаев и вариантом может быть множество, так же как и решений. Если умножить матрицу Ap * q и Bm * n, то произведение Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Элемент в g-й строке и h-й столбец AB является суммой произведения соответствующих элементов в g A и h B. Есть возможность только умножить две матрицы, если количество столбцов в первой и строк во второй равны. Пример: выполнить условие для рассматриваемых A и B: A=[1−130]B=[2−11214]. Это возможно, так как первая матрица содержит 2 столбца, а вторая содержит 2 строки. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Основная информация о матрицах
Рассматриваемые значения организуют информацию, такую как переменные и константы, и сохраняют их в строках и столбцах, их обычно называют C. Каждая позиция в матрице называется элементом. Пример: C=[1234]. Состоит из двух строк и двух столбцов. Элемент 4 находится в строке 2 и столбце 2. Обычно можно назвать матрицу после ее размеров, та, что с именем Cm * k имеет m строк и k столбцов.
Расширенные матрицы
Рассматриваемые значения невероятно полезные вещи, которые возникают во многих различных прикладных областях. Матрицы первоначально были основаны на системах линейных уравнений. Учитывая следующую структуру неравенств, необходимо принять к сведению следующую связанную дополненную матрицу:
2x + 3y – z = 6
–x – y – z = 9
x + y + 6z = 0.
Записать коэффициенты и значения ответов, включая все знаки «минус». Если элемент с отрицательным числом, то он будет равен «1». То есть, учитывая систему (линейных) уравнений, есть возможность связать с ней матрицу (сетку чисел внутри скобок). Именно ту, которая содержит только коэффициенты линейной системы. Это называется «расширенной матрицей». Сетка, содержащая коэффициенты из левой части каждого уравнения, была «дополнена» ответами из правой части каждого уравнения.
Записи, то есть значения B матрицы соответствуют значениям x-, y- и z в исходной системе. Если она правильно устроена, то в первую очередь проверяют ее. Иногда нужно переставить термины или вставить нули в качестве держателей мест в изучаемой или исследуемой матрице.
Учитывая следующую систему уравнений, можно сразу написать связанную дополненную матрицу:
x + y = 0
y + z = 3
z – x = 2.
Сначала обязательно нужно переставить систему как:
x + y = 0
y + z = 3
–x + z = 2.
Тогда есть возможность написать связанную матрицу как: [11000113-1012]. При формировании расширенной стоит использовать ноль для любой записи, где соответствующее пятно в системе линейных уравнений пустое.
Алгебра матриц: свойства операций
Если необходимо сформировать элементы только из значений коэффициентов, то рассматриваемое значение будет выглядеть так: [110011-101]. Это называется «матрицей коэффициентов».
Учитывая следующую расширенную алгебру матриц, необходимо ее усовершенствовать и дописать связанную линейную систему. При этом, важно помнить, что для них требуется, чтобы переменные были выстроены хорошо и аккуратно. И обычно, когда есть три переменные, использовать x, y и z в этом порядке. Поэтому связанная линейная система должна быть:
x + 3y = 4
2y - z = 5
3x + z = -2.
Размер матрицы
Рассматриваемые элементы часто упоминаются по их показателям. Размер матрицы в алгебре задается в виде измерения, так как комната может называться по-разному. Измеряемые показатели значений – это строки и столбцы, а не ширина и длина. Например, матрица A:
[1234]
[2345]
[3456].
Поскольку A имеет три строки и четыре столбца, размер A равен 3 × 4.
→
↓
Строки идут сбоку. Столбцы идут вверх и вниз. «Строка» и «столбец» являются техническими условиями и не взаимозаменяемы. Матричные размеры всегда задаются с числом строк, а затем числом столбцов. Следуя этому соглашению, следующая B:
[123]
[234] равно 2 × 3. Если матрица имеет такое же количество строк, что и столбцы, то она называется «квадратной». Например, значения коэффициентов сверху:
[110]
[011]
[-101] представляет собой квадратную матрицу 3 × 3.
Матричные обозначения и форматирование
Примечание относительно форматирования: например, когда необходимо написать матрицу, важно использовать скобки []. Не используются бары абсолютного значения ||, поскольку в этом контексте они имеют другое направление. Ни в коем случае не применяются круглые или фигурные скобки {}. Или какой-либо другой символ группировки или вообще никакого, поскольку эти презентации не имеют никакого значения. В алгебре матрица всегда находится внутри квадратных скобок. Необходимо использовать только правильную нотацию, или получаемые ответы могут считаться искаженными.
Как упоминалось ранее, значения, содержащиеся в матрице, называются записями. По какой-либо причине рассматриваемые элементы обычно пишутся прописными буквами, такими как A или B, а записи указываются с использованием соответствующих строчных, но с индексами. В матрице A значения обычно называются «ai, j», где i - это строка A, а j - столбец A. Например, a3,2 = 8. Запись a1,3 равна 3.
Для меньших матриц, тех, у которых меньше десяти строк и столбцов, запятая в нижнем индексе иногда опускается. Например, «a1,3 = 3» может быть записано как «a13 = 3». Очевидно, это не будет работать для больших матриц, так как a213 будет неясным.
Типы матриц
Иногда классифицируются в соответствии с конфигурациями их записей. Например, такая матрица, которая имеет все нулевые записи ниже диагонали сверху-слева-вниз-справа «диагональ», называется верхней треугольной. Кроме всего прочего, могут быть и другие виды и типы, но они не очень полезны. Как правило, в основном воспринимаются как верхняя треугольная. Значения с ненулевыми показателями только по горизонтали называются диагональными. Подобные типы имеют ненулевые записи в которых все 1, такие ответы носят название идентичных (по причинам, которые станут ясными, когда будет изучено и понятно, как умножать рассматриваемые значения). Существует много аналогичных исследуемых показателей. Тождество 3 × 3 обозначается I3. Аналогично идентичность 4 × 4 равна I4.
Алгебра матриц и линейные пространства
Нужно обратить внимание, что треугольные матрицы квадратные. Но диагонали треугольны. Ввиду этого являются квадратными. А тождества считаются диагоналями и, следовательно, треугольными и квадратными. Когда требуется описывать матрицу, то обычно просто указывается собственная самая определенная классификация, так как это подразумевает все остальные. Классифицировать следующие варианты исследований: [[9 10 11 12] [5 6 7 8] [1 2 3 4]] можно как 3 × 4. В данном случае они не являются квадратными. Поэтому значения не могут быть какими-то еще. Следующая классификация: [[9 0 4] [3 -2 3] [1 6 7]] можно как 3 × 3. Но при этом она считается квадратной, и в этом нет ничего особенного. Классификация следующих данных: [[0 8 -4] [1 0 2] [0 0 5]], как 3 × 3 верхняя треугольная, но она не диагональная. Правда, в рассматриваемых значениях могут иметься дополнительные нули на расположенном и указанном пространстве или над ним. Исследуемая классификация далее: [[0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]], где она представлена как диагональная и, более того, записи – все 1. Тогда это идентичность 3 × 3, I3.
Поскольку аналогичные матрицы являются по определению квадратными, нужно всего лишь использовать один индекс для нахождения их размеров. Для того чтобы две матрицы были равны, они должны быть одного и того же параметра, а также иметь одинаковые записи в одних и тех же местах. Например, предположим, что есть два следующих рассматриваемых элемента: A = [[1 3 0] [-2 0 0]] и B = [[1 3] [-2 0]]. Данные значения не могут быть одинаковыми, поскольку они различны по размеру.
Даже если A и B являются такими: A = [[3 6] [2 5] [1 4]] и B = [[1 2 3] [4 5 6]] – они все еще не то же самое. A и B имеют по шесть записей, а также имеют одинаковые номера, но этого недостаточно для матриц. A – 3 × 2. А B – матрица 2 × 3. А для 3 × 2 не равна 2 × 3. Не имеет значения, имеют ли A и B одинаковое количество данных или даже те же номера, что и записи. Если А и В не имеют одинакового размера и формы, но имеют идентичные значения в аналогичных местах, они не равны.
Аналогичные операции в рассматриваемой области
Это свойство матричного равенства можно превратить в задания для самостоятельных исследований. К примеру, даны две матрицы, и при этом указано, что они равны. В таком случае нужно будет использовать это равенство для исследования и получения ответов значений переменных.
Примеры и решения матриц в алгебре могут быть разнообразны, в особенности если это касается равенств. Учитывая, что следующие матрицы рассматриваемые, необходимо найти значения x и y. Для того чтобы A и B были равны, они должны иметь одинаковый размер и форму. По сути, они таковыми и являются, ведь каждая из них составляет 2 × 2 матрицы. И они должны иметь одинаковые значения в тех же местах. Тогда a1,1 должен равняться b1,1, a1,2 должен равняться b1,2 и т. д. Записи a1,2 и a2,1 явно равны соответственно элементам b1,2 и b2,1 (путем проверки, то есть просто просматривая их). Но, a1,1 = 1, очевидно, не равно b1,1 = x. Для A, идентичного B, запись должна иметь a1,1 = b1,1, поэтому она способна равняться 1 = x. Аналогично, что индексы a2,2 = b2,2, поэтому 4 = y. Тогда решение: x = 1, y = 4. Учитывая, что следующие матрицы равны, нужно найти значения x, y и z. Чтобы иметь A = B, коэффициенты должны иметь все записи равными. То есть a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2,1 = b2,1 и так далее. В частности, должен:
4 = x
-2 = y + 4
3 = z / 3.
Как можно увидеть из выделенных матриц: с 1,1-, 2,2- и 3,1-элементами. Решая эти три уравнения, получаем ответ: x = 4, y = -6 и z = 9. Алгебра матриц и операции над матрицами отличаются от того, к чему все привыкли, но они не размножаемы.
Дополнительные сведения в данной области
Линейная алгебра матрицы – это исследование подобных множеств уравнений и их свойств преобразования. Эта область знаний позволяет анализировать вращения в пространстве, аппроксимировать наименьшие квадраты, решение связанных дифференциальных уравнений, определять круг, проходящий через три заданные точки, а также решать многие другие вопросы математики, физики и техники. Линейная алгебра матрицы на самом деле не является техническим смыслом употребленного слова, то есть векторным пространством v над полем f и т. д.
Матрица и определитель являются чрезвычайно полезными инструментами линейной алгебры. Одной из центральных задач является решение матричного уравнения Ax = b, для x. Хотя это теоретически может быть решено с использованием обратного x = A-1 b. Другие методы, такие как гауссово исключение, численно более надежны.
В дополнение к использованию для описания изучения линейных наборов уравнений указанный выше термин также используется для описания определенного типа алгебры. В частности, L над полем F имеет структуру кольца со всеми обычными аксиомами для внутреннего сложения и умножения вместе с дистрибутивными законами. Поэтому придает ему больше структуры, чем кольцо. Линейная матричная алгебра также допускает внешнюю операцию умножения на скаляры, являющиеся элементами лежащего в основе поля F. Например, множество всех рассматриваемых преобразований из векторного пространства V в себя над полем F образуется над F. Другим примером линейной алгебры является множество всех вещественных квадратных матриц над полем R действительных чисел.
