Символическая логика – это отрасль науки, которая изучает правильные формы рассуждений. Она играет фундаментальную роль в философии, математике и информатике. Подобно философии и математике, логика имеет древние корни. Самые ранние трактаты о природе правильных рассуждений были написаны более 2000 лет назад. Некоторые из наиболее известных философов Древней Греции писали о характере удержания более 2300 лет назад. Мыслители древнего Китая писали о логических парадоксах примерно в то же время. Хотя ее корни уходят в далекое прошлое, логика по-прежнему остается яркой областью исследования.
Математическая символическая логика
Понимать и рассуждать тоже нужно уметь, именно поэтому логическим выводам уделялось особое внимание, когда не было специального оборудования для анализа и диагностики самых разных областей жизни. Современная символическая логика возникла на основе творчества Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) - великого греческого философа и одного из самых влиятельных мыслителей всех времен. Дальнейшие успехи были сделаны греческим стоическим философом Хрисиппом, который разработал основы того, что мы теперь называем пропозициональной логикой.
Активное развитие получила лишь в XIX веке математическая или символическая логика. Появились работы Буля, де Моргана, Шредера, в которых ученые проводили алгебризацию учения Аристотеля, тем самым сформировав основу исчисления высказываний. Далее последовали работы Фреге и Приса, в которых были введены понятия переменных и кванторов, начавшие применяться в логике. Так было сформировано вычисление предикатов - утверждений о субъекте.
Логика подразумевала доказательность неоспоримых фактов, когда прямых подтверждений правды не было. Логические выражения должны были убедить собеседника в правдивости.
Логические формулы выстраивались по принципу математического доказательства. Так убеждали собеседников в точности и достоверности.
Однако все формы аргументов были написаны словами. Формальные механизмы, которые создавали бы логическое исчисление вычета, отсутствовали. Люди стали сомневаться, а не прикрывается ли ученый математическими вычислениями, пряча за ними нелепость своих догадок, ведь каждый может представить свои доводы в иную пользу.
Рождение осмысленности: твердая логика в математике, как доказательство истины
Ближе к концу 18 века математическая или символическая логика появилась в виде науки, которая подразумевала процесс изучения правильности выводов. Они должны были иметь логический конец и связь. Но как было доказать или оправдать данные исследования?
Великий немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц одним из первых осознал необходимость формализации логических аргументов. Это была мечта Лейбница: создать универсальный формальный язык науки, который бы свел все философские споры до простого расчета, переработав рассуждения в таких дискуссиях на этом языке. Появилась математическая или символическая логика в виде формул, которые облегчали задачи и решения в философских вопросах. Да и эта область науки стала более весомой, ведь бессмысленная философская болтовня тогда становилась дном, на которое опирается сама математика!
В наше время традиционная логика является символической аристотелевской, которая проста и незатейлива. В 19 веке наука столкнулась с парадоксом множеств, которые рождали несостыковки тех самых знаменитых решений логических последовательностей Аристотеля. Эту проблему нужно было решать, ведь в науке не может быть даже поверхностных ошибок.
Формальность Льюиса Кэрролла - символическая логика и этапы ее преобразования
Формальная логика сейчас – это предмет, который входит в курс обучения. Однако своему появлению она обязана символической, той самой, которая была создана изначально. Символическая логика является методом представления логических выражений с использованием символов и переменных, а не обычного языка. Это позволяет устранить двусмысленность, которая сопровождает обычные языки, такие как русский, и позволяет упростить работу.
Существует множество систем символической логики, таких как:
- Классическая пропозициональная.
- Логика первого порядка.
- Модальная.
Символическая логика в понимании Льюиса Кэролла должна была бы указать на истинное и ложное утверждение в заданном вопросе. Каждый может иметь отдельные символы или исключать использование определенных знаков. Вот несколько примеров высказываний, замыкающих логическую цепочку выводов:
- Все люди, которые идентичные мне – существа, которые существуют.
- Все герои, которые идентичные Бэтмену – существа, которые существуют.
- Поэтому (поскольку Бэтмена и меня никогда не видели в одном месте), все люди, идентичные мне, являются героями, идентичными Бэтмену.
Это недействительный силлогизм формы, но это та же структура, что и следующая:
- Все собаки – это млекопитающие.
- Все кошки – это млекопитающие.
- Поэтому все собаки – это кошки.
Должно быть очевидно, что приведенная выше символическая форма в логике недействительна. Однако в логике справедливость определяется таким выражением: если бы помещение было истинным, то заключение было бы истинным. Это явно не так. То же самое будет для примера с героем, который имеет одинаковую форму. Валидность применяется только к дедуктивным аргументам, которые призваны доказать их заключение с уверенностью, так как дедуктивный аргумент не может быть действительным. Эти «поправки» также применяются в статистике, когда есть результат погрешности данных, и современная символическая логика как формальность упрощенных данных помогает во многих этих вопросах.
Индукция в современной логике
Индуктивный аргумент предназначен только для того, чтобы продемонстрировать свое заключение с высокой вероятностью или опровержимостью. Индуктивные аргументы либо сильные, либо слабые.
В качестве индуктивного аргумента пример супергероя Бэтмена просто слабый. Сомнительно, что Бэтмен существует, поэтому одно из утверждений уже неправильное с большой вероятностью. Хотя вы никогда не видели его в том же месте, что и кто-то другой, считать данное выражение доказательством нелепо. Чтобы понять суть логики, представьте:
- Вас никогда не видели в том же месте, что и уроженца Гвинеи.
- Это неправдоподобно, что вы и человек из Гвинеи – это один и тот же человек.
- Теперь представьте, что вы с африканцем никогда не виделись в одном месте. Это неправдоподобно, что вы и африканец – это один и тот же человек. Но гвинеец и африканец пересекались, поэтому вы не можете быть одновременно с обоими. Доказательства того, что вы – это африканец или гвинеец, существенно снизились.
С этой точки зрения сама идея символической логики не предполагает априорного отношения к математике. Все, что требуется для распознавания логики как символа, это широкое использование символов для представления логических операций.
Логическая теория Кэролла: запутанность или минимализм в математической философии
Кэрролл изучил некоторые необычные пути, которые заставили его решить достаточно сложные проблемы, с которыми столкнулись его коллеги. Это помешало ему добиться значительных успехов из-за сложности логических обозначений и систем, которые он получил в итоге своих работ. Смысл существования символической логики Кэрролла - проблема устранения. Как найти вывод, который должен быть сделан из набора предпосылок относительно отношения между заданными терминами? Устраняя «средние термины».
Именно для решения этой центральной проблемы логики середины девятнадцатого века изобретали символические, диаграммные, даже механические устройства. Однако методы Кэрролла для обработки таких «логических последовательностей» (как он их называл) не всегда давали верное решение. Позже философ опубликовал два документа о гипотезах, которые отражены в журнале «Разум»: «Логический парадокс» (1894) и «Что сказала черепаха Ахиллесу» (1895).
Эти статьи широко обсуждались логиками девятнадцатого и двадцатого столетий (Пирс, Рассел, Райл, Приор, Куайн и т.д.). Первая статья часто упоминается как хорошая иллюстрация парадоксов материального импликации, а вторая приводит к тому, что известно как парадокс вывода.
Простота символов в логике
Символический язык логики – это замена длинных двусмысленных предложений. Удобно, поскольку в русском языке можно сказать одно и то же о разных обстоятельствах, что даст возможность запутаться, а в математике символы будут заменять идентичность каждого смысла.
- Во-первых, краткость важна для эффективности. Символическая логика не может обойтись без знаков и обозначений, иначе она осталась бы лишь философской, без права на истинное значение.
- Во-вторых, символы облегчают просмотр и формулируют логические истины. Пункты 1 и 2 поощряют «алгебраическую» манипуляцию логическими формулами.
- В-третьих, когда логика выражает логические истины, символическая формулировка поощряет изучение структуры логики. Это связано с предыдущим пунктом. Таким образом, символическая логика поддается математическому изучению логики, которая является ветвью субъекта математической логики.
- В-четвертых, при повторении ответа использование символов – это помощь в предотвращении неопределенности (например, множественных значений) обычного языка. Также это помогает обеспечить уникальность смысла.
Наконец, символический язык логики позволяет проводить исчисление предикатов, которое было введено Фреге. За прошедшие годы символическое обозначение самого исчисления предикатов было отточено и стало более эффективным, так как хорошая нотация важна в математике и логике.
Онтология античности Аристотеля
Работами мыслителя заинтересовались ученые, когда стали использовать в своих интерпретациях методы Слинина Я. А. "Символическая логика" - это учебник, написанный ученым и выпущенный в Санкт-Петербурге. В книге представлены теории классической и модальной логики. Важной частью концепции становилось приведение к КНФ в символической логике формулы логики высказывания. Сокращение означает конъюнкцию или дизъюнкцию переменных.
Слинин Я. А. предположил, что сложные отрицания, которые требует неоднократного приведения формул, должны превратиться в подформулу. Таким образом он преобразовывал некоторые значения в более минимальные и решал задачи в сокращенном варианте. Работа с отрицаниями сводилась к формулам де Моргана. Законы, которые носят имя де Моргана, представляют собой пару связанных друг с другом теорем, которые делают возможным превращение утверждений и формул в альтернативные и часто более удобные. Законы заключаются в следующем:
- Отрицание (или противоречивость) дизъюнкции равно объединению отрицания альтернатив – p или q равно не p и не q или символически ~ (p ⊦ q) ≡ ~p · ~q.
- Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицания исходных конъюнктов, т. е. не (p и q) равно не p или не q, либо символически ~ (p · q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Благодаря этим исходным данным многие математики стали применять формулы для решения сложных логических задач. Многим известно, что есть курс лекций, где изучается область пересечения функций. И матричная интерпретация также основывается на формулах логичности. В чем же суть логики в алгебраической связи? Это уровневая линейная функция, когда на одну чашу можно поставить науку о числах и философию как «бездушную» и не рентабельную сферу рассуждений. Хотя Кант Э. считал иначе, будучи математиком и философом. Он отмечал, что философия есть ничто, пока не доказано иное. А доказательство должно быть научно обоснованным. Так и получилось, что философия стала иметь значимость благодаря совмещению с настоящей природой чисел и вычислений.
Применение логики в науке и материальном мире действительности
Философы обычно не применяют науку логического размышления лишь в каком-то амбициозном постградусном проекте (обычно с высокой степенью специализации, например путем добавления в социальную науку, психологию или этическую категоризацию). Парадоксально, что философская наука «родила» метод расчета истины и лжи, однако сами философы им не пользуются. Так для кого же созданы и преобразованы столь четкие математические силлогизмы?
- Программисты и инженеры применяли символическую логику (которая не так сильно отличается от первичной) для внедрения компьютерных программ и даже проектирования плат.
- В случае компьютеров логика стала достаточно сложной, чтобы обрабатывать многочисленные вызовы функций, а также продвигать математику и решать математические задачи. Большая часть ее основана на знании математического решения проблем и вероятности в сочетании с логическими правилами исключения, расширения и сводимости.
- Компьютерные языки не могут быть легко поняты, чтобы работать логически в пределах знания математики и даже выполнять специальные функции. Большая часть компьютерного языка, вероятно, запатентована или понятна только компьютерам. Теперь программисты часто позволяют компьютерам самим делать логические задачи и решать их.
В ходе таких предпосылок многие ученые предполагают создание продвинутого материала не ради науки, а для удобства использования средств информации и технологий. Быть может, скоро логика просочится в сферы экономики, бизнеса и даже «двуличного» кванта, который ведет себя и как атом, и как волна.
Квантовая логика в современной практике математического анализа
Квантовая логика (QL) была разработана как попытка построить пропозициональную структуру, которая позволила бы описать интересные события в квантовой механике (QM). QL заменила булеву структуру, которая была недостаточной для представления атомного царства, хоть и подходит для дискурса классической физики.
Математическая структура пропозиционального языка о классических системах представляет собой набор мощностей, частично упорядоченный по множеству включения, с парой операций, представляющих объединение и дизъюнкцию.
Эта алгебра согласуется с дискурсом как классических, так и релятивистских явлений, но несовместима в теории, которая запрещает, например, давать одновременные значения истинности. Предложение отцов-основателей QL создано, чтобы заменить булеву структуру классической логики более слабой структурой, которая ослабляла бы дистрибутивные свойства конъюнкции и дизъюнкции.
Ослабление устоявшегося символического внедрения: так ли нужна истина в математике как точной науке
Во время своего развития квантовая логика начала ссылаться не только на традиционную, но и на несколько направлений современных исследований, которые пытались понять механику с логической точки зрения. Было представлено множественных квантовых подходов, чтобы ввести разные стратегии и проблемы, обсуждаемые в литературе квантовой механики. Когда это возможно, исключаются ненужные формулы, чтобы дать интуитивное понимание понятий до получения или введения связанной математики.
Многолетний вопрос в интерпретации квантовой механики заключается в том, доступны ли принципиально классические объяснения для квантово-механических явлений. Квантовая логика сыграла большую роль в формировании и уточнении этого обсуждения, в частности позволяя нам быть достаточно точным в отношении того, что мы подразумеваем под классическим объяснением. Теперь с точностью можно установить, какие теории можно считать достоверными, а какие - логическим завершением математических суждений.
