Важным геометрическим объектом, который изучают в плоском пространстве, является прямая. В трехмерном же пространстве, помимо прямой, появляется еще плоскость. Оба объекта удобно задавать с помощью направляющих векторов. Что это такое, как применяют эти вектора для определения уравнений прямой и плоскости? Эти и другие вопросы освещаются в статье.
Прямая и способы ее задавания
Каждый школьник хорошо представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. С точки зрения математики, прямая представляет собой набор точек, которые в случае их попарного произвольного соединения между собой приводят к получению совокупности параллельных векторов. Это определение прямой используют для написания уравнения для нее как в двумерном, так и в трехмерном пространстве.
Для описания рассматриваемого одномерного объекта пользуются разными видами уравнений, которые перечислены в списке ниже:
- общего вида;
- параметрическое;
- векторное;
- каноническое или симметричное;
- в отрезках.
Каждый из названных видов имеет некоторые преимущества по отношению к другим. Например, уравнением в отрезках удобно пользоваться при изучении поведения прямой относительно осей координат, уравнение общего вида удобно при нахождении направления, перпендикулярного заданной прямой, а также при вычислении угла ее пересечения с осью x (для плоского случая).
Поскольку тема данной статьи связана с направляющим вектором прямой, то далее будем рассматривать только уравнение, где этот вектор является принципиальным и содержится явно, то есть векторное выражение.
Задание прямой через вектор
Предположим, что у нас имеется некоторый вектор v¯ с известными координатами (a; b; c). Поскольку координат три, то вектор задан в пространстве. Как изобразить его в прямоугольной системе координат? Делается это очень просто: на каждой из трех осей откладывается отрезок, длина которого равна соответствующей координате вектора. Точка пересечения трех перпендикуляров, восстановленных к плоскостям xy, yz и xz, будет концом вектора. Началом же его является точка (0; 0; 0).
Тем не менее приведенное положение вектора не является единственным. Аналогичным образом можно нарисовать v¯, располагая его начало в произвольной точке пространства. Эти рассуждения говорят о том, что задать конкретную прямую с помощью вектора нельзя. Он задает семейство из бесконечного числа параллельных прямых.
Теперь зафиксируем некоторую точку P(x0; y0; z0) пространства. И зададим условие: через P должна проходить прямая. В этом случае вектор v¯ тоже должен содержать эту точку. Последний факт означает, что можно задать одну единственную прямую, используя P и v¯. Она запишется в виде следующего уравнения:
Q = P + λ × v¯
Здесь Q - любая точка, принадлежащая прямой. Эту точку можно получить, подобрав соответствующий параметр λ. Записанное уравнение называется векторным, а v¯ получил название направляющего вектора прямой. Располагая его так, чтобы он проходил через P, и изменяя его длину с помощью параметра λ, мы получаем каждую точку Q прямой.
В координатной форме уравнение запишется так:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
И в явном (параметрическом) виде можно записать:
x = x0 + λ × a;
y = y0 + λ × b;
z = z0 + λ × c
Если в приведенных выражениях исключить третью координату, то мы получим векторные уравнения прямой на плоскости.
Для каких задач полезно знать направляющий вектор ?
Как правило, это задачи на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Также определяющий направление прямой вектор используется при вычислении дистанции между прямыми и точкой и прямой, для описания поведения прямой относительно плоскости.
Две прямые будут параллельными, если таковыми являются их направляющие вектора. Соответственно, перпендикулярность прямых доказывается с помощью перпендикулярности их векторов. В этих типах задач достаточно рассчитать скалярное произведение рассматриваемых векторов, чтобы получить ответ.
В случае задач на вычисление расстояний между прямыми и точками направляющий вектор входит явно в соответствующую формулу. Запишем ее:
d = |[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Здесь P1P2¯ - построенный на точках P1 и P2 направленный отрезок. Точка P2 является произвольной, лежащей на прямой с вектором v¯, точка же P1 является той, до которой следует определить расстояние. Она может быть как самостоятельной, так и принадлежать другой прямой или плоскости.
Отметим, что рассчитывать расстояние между прямыми имеет смысл только тогда, когда они являются параллельными или скрещивающимися. Если же они пересекаются, то d равно нулю.
Приведенная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой, только в этом случае P1 должна принадлежать плоскости.
Решим несколько задач, чтобы нагляднее показать, как пользоваться рассматриваемым вектором.
Задача на составление векторного уравнения
Известно, что прямая описывается следующим равенством:
y = 3 × x - 4
Следует написать соответствующее выражение в векторной форме.
Это типичное уравнение прямой, известное каждому школьнику, записано в общем виде. Покажем, как его переписать в векторной форме.
Выражение можно представить в виде:
(x; y) = (x; 3 × x - 4)
Видно, что если его раскрыть, то получится исходное равенство. Теперь разделим его правую часть на два вектора так, чтобы только один из них содержал иксы, имеем:
(x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4)
Остается вынести x за скобки, обозначить его греческим символом и поменять вектора правой части местами:
(x; y) = (0; -4) + λ × (1; 3)
Мы получили векторную форму записи исходного выражения. Координаты направляющего вектора прямой равны (1; 3).
Задача на определение взаимного расположения прямых
В пространстве заданы две прямые:
(x; y; z) = (1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Они являются параллельными, скрещивающимися или пересекающимися?
Ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) будут направляющими для этих прямых. Выразим в параметрической форме эти уравнения и подставим координаты первого во второе. Получаем:
x = 1 - λ;
y = 3 × λ;
z = -2 + λ;
-------------
x = 3 + γ = 1 - λ => γ = -2 - λ;
y = 2 + 2 × γ = 3 × λ => γ = 3 / 2 × λ - 1;
z = 2 = -2 + λ => λ = 4
Подставляем найденный параметр λ в два уравнения выше, получаем:
γ = -2 - λ = -6;
γ = 3 / 2 × λ - 1 = 5
Параметр γ не может одновременно принимать два разных значения. Это означает, что прямые не имеют ни одной общей точки, то есть являются скрещивающимися. Параллельными они не являются, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу (для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго).
Математическое описание плоскости
Для задания плоскости в пространстве приведем уравнение общего вида:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Здесь латинские большие буквы представляют собой конкретные числа. Первые три из них определяют координаты нормального вектора плоскости. Если его обозначить n¯, тогда:
n¯ = (A; B; C)
Этот вектор является перпендикулярным плоскости, поэтому его называют направляющим. Его знание, а также известные координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости, однозначно задают последнюю.
Если точка P(x1; y1; z1) плоскости принадлежит, тогда свободный член D рассчитывается следующим образом:
D = -1 × (A × x1 + B × y1 + C × z1)
Решим пару задач с использованием общего уравнения для плоскости.
Задача на нахождение нормального вектора плоскости
Плоскость задана в следующем виде:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4 = 1
Как найти направляющий вектор для нее?
Из приведенной выше теории следует, что координаты нормального вектора n¯ являются коэффициентами, стоящими перед переменными. В связи с этим для нахождения n¯ следует записать уравнение в общем виде. Имеем:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6 = 0
Тогда нормальный вектор плоскости равен:
n¯ = (1/3; 1/2; -1/4)
Задача на составление уравнения плоскости
Даны координаты трех точек:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Как будет выглядеть уравнение плоскости, содержащей все эти точки.
Через три точки, которые одной прямой не принадлежат, можно провести только одну плоскость. Чтобы найти ее уравнение, сначала вычислим направляющий вектор плоскости n¯. Для этого поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, принадлежащие плоскости, и вычислим их векторное произведение. Оно даст вектор, который этой плоскости будет перпендикулярен, то есть n¯. Имеем:
M1M2¯ = (1; -1; 5); M1M3¯ = (-1; -2; -2);
n¯ = [M1M2¯ × M1M3¯] = (12; -3; -3)
Возьмем точку M1 для составления выражения плоскости. Получаем:
D = -1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0) = -12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12 = 0 =>
4 × x - y - z - 4 = 0
Мы получили выражение общего типа для плоскости в пространстве, определив сначала направляющий вектор для нее.
Свойство векторного произведения следует запомнить при решении задач с плоскостями, поскольку оно позволяет простым способом определять координаты нормального вектора.
