С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.
Общие понятия
Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.
Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.
Четырехугольник может быть следующих видов:
- Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
- Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
- Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
- Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
- Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.
Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.
Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.
Частные случаи
Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:
- Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
- Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
- Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.
Свойства вписанного четырехугольника в окружность
Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.
Теорема 1
Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.
Доказательство
Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что <A + <C = 180º и <B + <D = 180º.
Нужно рассмотреть представленные фигуры.
- <A вписан в окружность с центром в точке О. Измеряется он через ½ BCD (полудугу).
- <C вписан в эту же окружность. Измеряется он через ½ BAD (полудугу).
- BAD и BCD образуют целую окружность, т. е. их величина составляет 360º.
- <A + <C равны полусумме представленных полудуг.
- Следовательно, <A + <C = 360º / 2 = 180º.
Аналогичным способом происходит доказательство для <B и <D. Однако существует и второй вариант решения задачи.
- Известно, что сумма внутренних углов четырехугольника составляет 360º.
- Поскольку <A + <C = 180º. Соответственно, <B + <D = 360º – 180º = 180º.
Теорема 2
(Ее часто называют обратной) Если в четырехугольнике <A + <C = 180º и <B + <D = 180º (если они противоположные), то около такой фигуры можно описать окружность.
Доказательство
Дана сумма противоположных углов четырехугольника ABCD, равная 180º. <A + <C = 180º, <B + <D = 180º. Нужно доказать, что вокруг ABCD можно описать окружность.
Из курса геометрии известно, что через 3 точки четырехугольника можно провести окружность. К примеру, можно задействовать точки A, B, C. Где будет находиться т. D? Имеются 3 предположения:
- Она оказывается внутри круга. При этом D не касается линии.
- Вне круга. Она заступает далеко за пределы очерченной линии.
- Оказывается на окружности.
Следует предположить, что D располагается внутри круга. Место указанной вершины занимает D´. Получается четырехугольник ABCD´.
В результате следует:<B + <D´= 2d.
Если продолжить AD´ до пересечения с имеющейся окружностью с центром в точке Е и соединить E и C, получится вписанный четырехугольник ABCE. Из первой теоремы следует равенство:<B + <Е = 2d.
Согласно законам геометрии, выражение не имеет силы, поскольку <D´ является внешним углом треугольника CD´E. Соответственно, он должен быть больше <Е. Из этого можно сделать вывод, что D должна оказаться либо на окружности, либо за ее пределами.
Подобным образом можно доказать неправильность третьего предположения, когда D´´ выходит за границу описанной фигуры.
Из двух гипотез вытекает единственно верная. Вершина D располагается на линии окружности. Другими словами, D совпадает с E. Отсюда следует, что все точки четырехугольника располагаются на описываемой линии.
Из этих двух теорем вытекают следствия:
- Любой прямоугольник может быть вписан в окружность. Существует и иное следствие. Вокруг любого прямоугольника может быть описана окружность.
- Трапеция с равными бедрами может быть вписана в окружность. Другими словами это звучит так: вокруг трапеции с равными ребрами может быть описана окружность.
Несколько примеров
Задача 1. В окружность вписан четырехугольник ABCD. <ABC = 105º, <CAD = 35º. Необходимо найти <ABD. Ответ должен быть записан в градусах.
Решение. Изначально может показаться, что найти ответ будет затруднительно.
1. Нужно вспомнить свойства из этой темы. А именно: сумма противоположных углов = 180º.
<ADC = 180º – <ABC = 180º – 105º = 75º
В геометрии лучше придерживаться принципа: найти все, что можно. Потом пригодится.
2. Следующий шаг: использовать теорему о сумме углов треугольника.
<ACD = 180º – <CAD – <ADC = 180º – 35º – 75º = 70º
<ABD и <ACD – вписанные. По условию они опираются на одну дугу. Соответственно, у них равные величины:
<ABD = <ACD = 70º
Ответ: <ABD = 70º.
Задача 2. Дан BCDE – вписанный четырехугольник в окружность. <B = 69º, <С = 84º. Центр окружности – точка E. Найти – <E.
Решение.
- Необходимо найти <E по Теореме 1.
<E = 180º – <С = 180º – 84º = 96º
Ответ: < E = 96º.
Задача 3. Дан вписанный четырехугольник в окружность. Данные указаны на рисунке. Необходимо найти неизвестные величины x, y, z.
Решение:
z = 180º – 93º = 87º (по Теореме 1)
x = ½ * (58º + 106º) = 82º
y = 180º – 82º = 98º (по Теореме 1)
Ответ: z = 87º, x = 82º, y = 98º.
Задача 4. Имеется вписанный четырехугольник в окружность. Величины указаны на рисунке. Найти x , y.
Решение:
x = 180º – 80º = 100º
y = 180º – 71º = 109º
Ответ: x = 100º, y = 109º.
Задачи на самостоятельное решение
Пример 1. Дана окружность. Ее центр – точка О. АС и BD – диаметры. <ACB = 38º. Необходимо найти <AOD. Ответ нужно дать в градусах.
Пример 2. Даны четырехугольник ABCD и окружность, описанная вокруг него. <ABC = 110º, <ABD = 70º. Найдите <CAD. Ответ написать в градусах.
Пример 3. Дана окружность и вписанный четырехугольник ABCD. Два его угла равны 82º и 58º. Необходимо найти больший из оставшихся углов и записать ответ в градусах.
Пример 4. Дан четырехугольник ABCD. Углы А, В, С даны в соотношении 1:2:3. Необходимо найти угол D, если указанный четырехугольник может быть вписан в окружность. Ответ должен быть дан в градусах.
Пример 5. Дан четырехугольник ABCD. Его стороны образуют дуги описанной окружности. Градусные величины AB, BC, CD и AD, соответственно, равны: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Следует найти <С данного четырехугольника и записать ответ в градусах.
