Треугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Чтобы разобраться в его свойствах, нужно научиться находить такие элементы, как высота. В этой статье мы расскажем, что такое высота треугольника, объясним ее свойства и покажем несколько простых способов нахождения для начинающих. Читайте и осваивайте это полезное умение!
Что такое высота треугольника и как ее обозначают
Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из одной его вершины к противоположной стороне или продолжению этой стороны. Обозначается высота обычно буквой h.
Высота треугольника может располагаться по-разному в зависимости от типа треугольника:
- Для остроугольного треугольника высота падает на противоположную сторону;
- Для тупоугольного треугольника высота находится вне самой фигуры;
- В прямоугольном треугольнике одна высота совпадает с катетом.
Существует важное соотношение между высотами треугольника и его сторонами:
Это значит, что высоты треугольника обратно пропорциональны соответствующим сторонам.
Основные способы нахождения высоты треугольника
Существует несколько основных формул, с помощью которых можно найти высоту треугольника, если известны некоторые его параметры.
-
Через площадь S треугольника и длину стороны a:
h = 2*S/a -
Через длины всех трех сторон a, b, c и полупериметр p:
h = 2*p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/a*b*c -
Через длину стороны a и синус угла α при этой стороне:
h = a*sinα
Как найти высоту треугольника этими тремя способами? Они подходят для любых треугольников. Давайте рассмотрим пример.
| Дано: | Треугольник со сторонами a = 5 см b = 8 см c = 10 см Угол α = 30° |
| Найти: | Высоту h, опущенную на сторону a |
Решение:
-
По формуле через площадь (площадь треугольника составляет S = 20 см2):
h = 2*20/5 = 8 см -
По формуле через стороны:
- Полупериметр: p = (5 + 8 + 10)/2 = 11,5 Подставляем в формулу:
h = 2*11,5*(11,5 - 5)*(11,5 - 8)*(11,5 - 10)/5*8*10 = 8 см -
По формуле через сторону и синус угла:
h = 5*sin30° = 5*0,5 = 8 см
Как видно из примера, все три формулы дают один и тот же результат. Выбирайте удобный для вас вариант!
Также высота треугольника равна значениям, вычисленным по специальным формулам для равнобедренного или равностороннего треугольников. Например:
- Для равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b:
h = sqrt(b^2 - (a/2)^2) - Для равностороннего треугольника со стороной a:
h = a*sqrt(3)/2
Высота в прямоугольном треугольнике через катеты
Найти высоту треугольника, проведенную в прямоугольном треугольнике к гипотенузе из вершины прямого угла, можно по такой формуле:
h = a * b / c
где a и b - катеты, с - гипотенуза.
Эту формулу можно легко доказать, рассмотрев соотношения между сторонами двух получившихся прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный.
Высота через гипотенузу и острый угол
Еще один способ - "найти" высоту в прямоугольном треугольнике если известны гипотенуза c и один из острых углов α:
h = c * sin(α) / cos(α)
Эту формулу можно вывести из определения тригонометрических функций.
Высота в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике с основанием a и равными боковыми сторонами b высота вычисляется так:
h = √(b2 - (a/2)2)
Она всегда проводится из вершины к середине основания и является также медианой и биссектрисой.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a справедлива формула:
h = a * √3/2
Здесь высота равна радиусу вписанной и описанной окружностей такого треугольника.
Графическое построение высоты
Помимо аналитического вычисления, высоту треугольника можно построить графически с помощью циркуля и линейки:
- Найти нужную вершину треугольника
- Провести перпендикуляр к противоположной стороне
- Отметить точку пересечения - конец высоты
Такая графическая интерпретация помогает наглядно увидеть элементы треугольника и их соотношения.
