Как найти периметр параллелограмма, если известна одна его сторона? Раскрываем секреты вычисления

Многие из нас в школе немного подзабыли формулы для нахождения периметра различных геометрических фигур. Особенно если речь идет о такой непростой фигуре как параллелограмм. Но не стоит отчаиваться! В этой статье мы вместе вспомним, как можно найти периметр параллелограмма, зная лишь длину одной его стороны.

Что такое параллелограмм и его свойства

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. К основным свойствам параллелограмма относятся:

• Противоположные стороны равны
• Противоположные углы равны
• Диагонали взаимно перпендикулярны
• Диагонали делят параллелограмм на четыре равные части

Наиболее известными примерами параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат. У прямоугольника все углы прямые, у ромба все стороны равны, а у квадрата и стороны и углы равны.

Основными элементами параллелограмма являются:

• Стороны (обозначаются буквами)
• Углы (обозначаются греческими буквами)
• Диагонали (обозначаются буквами с индексом d)
• Высота (обозначается буквой h)

Для нахождения площади параллелограмма используется формула S = ah, где a – длина стороны, h – высота, проведенная к этой стороне. А формула для нахождения периметра параллелограмма выглядит так: P = 2(a + b), где a и b – смежные стороны параллелограмма.

Нахождение периметра параллелограмма по известной стороне

Итак, формула для периметра параллелограмма через его стороны:

P = 2(a + b)

где a и b – смежные стороны параллелограмма.

Представим, что в задаче дана длина одной стороны параллелограмма, допустим, a = 5 см. Как найти периметр параллелограмма в таком случае?

Здесь на помощь приходит свойство параллелограмма – равенство его противоположных сторон. Раз a = 5 см, то и противоположная ей сторона тоже равна 5 см. А смежная сторона b пока неизвестна.

Исходя из этого, формулу периметра параллелограмма можно переписать так:

P = 2(a + b) = 2(5 + b)

Чтобы найти периметр, осталось вычислить длину второй смежной стороны b. А для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как диагонали параллелограмма перпендикулярны.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

b² = a² + d²

где a = 5 см – известная нам сторона параллелограмма, а d – диагональ.

Таким образом, зная длину одной стороны параллелограмма, можно найти его периметр по формуле:

P = 2(a + √(a² + d²))

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Дан параллелограмм со стороной а = 4 см. Найти его периметр, если диагональ параллелограмма равна d = 6 см.

Решение.

Применяем формулу:

P = 2(a + √(a² + d²)) = 2(4 + √(4² + 6²)) = 2(4 + √16 + 36) = 2(4 + √52) = 2(4 + 8) = 24 см

Ответ: периметр параллелограмма равен 24 см.

Пример 2. Сторона параллелограмма равна 7 см. Найти периметр, если известно, что одна из диагоналей равна 10 см.

Решение.

Имеем: a = 7 см, d = 10 см. Подставляем в формулу:

P = 2(a + √(a² + d²)) = 2(7 + √(7² + 10²)) = 2(7 + √49 + 100) = 2(7 + √149) = 38 см

Ответ: 38 см.

Как видно из примеров, данный способ позволяет достаточно просто находить периметр параллелограмма, зная лишь длину одной его стороны и диагонали. Главное – правильно записать формулу и аккуратно подставить все известные значения.

Дополнительные способы нахождения периметра

Помимо рассмотренного выше основного способа, существует несколько дополнительных методов нахождения периметра параллелограмма, если известна одна его сторона.

Использование теоремы косинусов

Один из вариантов - применить теорему косинусов для треугольника ABD:

AB² = BD² + AD² - 2*BD*AD*cosα

где AB – известная нам сторона параллелограмма, BD = AD – обе диагонали, α - угол между диагоналями.

Решив это уравнение относительно BD, можно найти длину диагонали, а затем вычислить периметр параллелограмма.

Использование теоремы синусов

Другой подход – применить теорему синусов для треугольника ABD:

AB/sinα = BD/sinβ

Отсюда можно найти BD при известных AB и углах α, β. А далее поступить аналогично предыдущему способу.

Использование подобия треугольников

Еще один метод – доказать подобие треугольников ABD и ADC и найти соотношение их сторон:

AB/BD = BD/DC

Решив это уравнение относительно BD, получим значение диагонали и вычислим периметр.

Практические задачи на нахождение периметра

Для закрепления рассмотрим несколько практических задач, где нужно найти периметр параллелограмма если известна одна его сторона:

• Сторона параллелограмма равна 5 см, один из углов между диагоналями составляет 45 градусов. Найти периметр.
• Дан параллелограмм со стороной 3 дм. Одна из диагоналей на 2 дм больше другой. Найти периметр параллелограмма.
• Сторона параллелограмма равна 13 см. Диагональ, проходящая через эту сторону, делит параллелограмм на два равных треугольника. Вычислить периметр.

Решая такие задачи, можно закрепить навыки применения различных способов вычисления периметра параллелограмма по одной известной стороне на практике.

Проверка правильности вычислений

Чтобы убедиться в верности найденного значения периметра, рекомендуется выполнить следующие проверочные действия:

1. Подставить полученное значение периметра в исходную формулу P = 2(a + b) с известными сторонами a и b.
2. Вычислить периметр другим способом и сравнить результаты.
3. Оценить реалистичность полученного значения периметра исходя из задачи.

Такая проверка позволит вовремя обнаружить возможные ошибки в расчетах и получить верный ответ.

Применение навыков в повседневной жизни

Умение находить периметр различных фигур, в том числе параллелограмма, может пригодиться в самых неожиданных жизненных ситуациях:

• При покупке плитки для укладки на пол или стены.
• При расчете количества обоев для ремонта.
• При определении размера участка сада неправильной формы.
• При пошиве скатерти или штор для стола или окна нестандартной формы.

Во всех этих случаях требуется найти периметр фигуры по отдельным известным параметрам, опираясь на знание базовых геометрических формул.