Орт вектора это важное понятие в линейной алгебре и аналитической геометрии. Рассмотрим его подробнее.
Определение
Орт вектора это единичный вектор, который коллинеарен исходному вектору и направлен в ту же сторону.
Ортом произвольного ненулевого вектора c назовем единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.
То есть если у нас есть некоторый вектор a, то его орт a0 будет иметь ту же направляющую, но длину равную 1. Геометрически орт вектора можно представить как вектор, направленный вдоль исходного вектора от начала координат до единичной окружности.
Как найти орт вектора
Чтобы найти орт произвольного вектора a, нужно выполнить следующие действия:
- Найти модуль (длину) вектора a, обозначим его как |a|
- Поделить каждую координату вектора a на его модуль |a|
Полученный в результате вектор и будет ортом исходного вектора. Обозначим его как a0.
Координаты орта вектора
Итак, координаты орта вектора вычисляются по формуле:
a0 = a / |a|
Где |a| - модуль вектора a. То есть берем обычные координаты вектора (x1, x2, ..., xn) и делим каждую из них на модуль |a|. В результате получаем координаты орта.
Применение ортов
Понятие орта вектора широко используется в линейной алгебре, аналитической геометрии и других областях математики. Рассмотрим некоторые примеры.
Ортонормированный базис
Орт вектора является важной составляющей понятия ортонормированного базиса - системы взаимно ортогональных единичных векторов. Такая система векторов в системе орт удобна для разложения сложных векторов по координатам и выполнения других операций в линейной алгебре.
Единичная окружность
Все возможные орты векторов в двумерном и трехмерном пространстве образуют единичную окружность и сферу соответственно. Это важный факт, используемый в аналитической геометрии.
Нормализация векторов
Нахождение орта вектора эквивалентно нормализации вектора - преобразованию к единичной длине. Это применяется в компьютерной графике, физических расчетах и других областях.
Применение в компьютерной графике
В компьютерной графике орты векторов активно используются при моделировании трехмерных сцен и объектов. Для определения направления нормали к поверхности объекта зачастую находят орт некоторого вектора, характеризующего эту поверхность.
Например, у многогранника каждая грань определяется своим нормальным вектором. Чтобы найти направление освещения для каждой грани, вычисляют орт ее нормального вектора.
Нормализация векторных полей
В графике также используются различные векторные поля - поля скоростей, силовые поля и др. Чтобы упростить работу с ними, их нормализуют - преобразуют к единичной длине с помощью нахождения ортов.
Применение в физических расчетах
В физике орты векторов позволяют упростить многие расчеты за счет перехода к единичным направляющим векторам.
Например, для нахождения силы, действующей вдоль некоторого направления, достаточно найти скалярное произведение полной силы на орт заданного направления.
Обобщения понятия орта
Помимо векторов в двумерном и трехмерном пространстве, аналогичное понятие орта определяется и для векторов в многомерных пространствах. Например, орт гиперсферы в четырехмерном пространстве.
Также обобщается понятие ортонормированного базиса. В общем случае это фамортогональный базис из единичных векторов в некотором векторном пространстве.
Орты векторов в задачах оптимизации
Интересные применения находит понятие орта вектора в различных оптимизационных задачах.
Рассмотрим задачу max(c, x), где нужно найти максимум линейной функции c от вектора x при ограничении |x| = 1. Геометрически эта задача сводится к нахождению максимального скалярного произведения (c, x) при условии, что вектор x лежит на единичной сфере. Очевидно, что таким вектором x будет орт вектора c.
Метод градиентного спуска
В методе градиентного спуска для нахождения экстремума функции на каждой итерации вычисляется градиент функции в текущей точке, затем делается шаг в направлении антиградиента. Нахождение орта градиента позволяет нормализовать это направление.
Ортогонализация векторов
Процесс нахождения орта позволяет ортогонализовать систему векторов - сделать векторы системы попарно ортогональными. Это необходимо, например, при решении систем линейных уравнений методом наименьших квадратов.
Орт в информатике и лингвистике
Понятие, аналогичное орту вектора, используется и в некоторых разделах информатики и лингвистики.
Например, в вероятностных моделях языка ортами слов называют наиболее типичные слова данной тематической группы. А в машинном обучении применяется ортогонализация признаковых векторов.
