Комплексные числа являются важной математической абстракцией, которая нашла широкое применение во многих областях науки и техники. Давайте разберемся, что представляют собой комплексные числа, как они записываются и как с ними работать.
Определение и формы записи комплексного числа
Комплексное число представляет собой выражение вида:
z = a + bi
где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = -1. Число a называется действительной частью комплексного числа, а b - мнимой частью.
Комплексные числа можно представить в трех основных формах:
- Алгебраическая форма (приведенная выше)
- Тригонометрическая форма:
z = r(cosφ + i·sinφ) - Показательная форма:
z = r·eiφ
где r - модуль комплексного числа, а φ - его аргумент.
Основные операции
С комплексными числами можно выполнять такие же операции, как и с действительными:
- Сложение и вычитание
- Умножение
- Деление
- корень комплексных чисел
- Возведение в степень
При выполнении операций сохраняются все свойства, известные из курса алгебры: переместительное, сочетательное, распределительное и т.д. Рассмотрим некоторые примеры.
Сложение и вычитание
Чтобы сложить или вычесть два комплексных числа, нужно отдельно сложить (вычесть) их действительные и мнимые части:
| (1 + 2i) + (3 + 4i) = | 1 + 2i | + | 3 + 4i | = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i |
| (2 - 3i) - (5 + i) = | 2 - 3i | - | 5 + i | = (2 - 5) + (-3 - 1)i = -3 - 4i |
Умножение
Чтобы перемножить два комплексных числа, используется так называемая формула Муавра:
(r1·eiφ1) · (r2·eiφ2) = (r1·r2) · ei(φ1+φ2)
То есть модули чисел перемножаются, а аргументы складываются. Например:
| (2 + 3i) · (1 - 2i) = | 2 + 3i | · | 1 - 2i | = 5·ei·(π/6 + π/4) = 5·ei·5π/12 = 4 + 3i |
В алгебраической форме умножение выполняется по правилам умножения многочленов:
| (1 + 2i) · (3 - 4i) = | 1 + 2i | · | 3 - 4i | = (1·3) + (1·(-4i)) + (2i·3) + (2i·(-4i)) = 3 - 4i + 6i - 8i2 = 3 - 4i - 8·(-1) = 3 + 4i |
Корни уравнения комплексного числа
Любое уравнение вида zn = a, где n > 1 - натуральное число, имеет ровно n комплексных корней. Эти корни находятся по формуле:
zk = √[r·(cosφ + i·sinφ)] = √r·(cos(φ/n + 2πk/n) + i·sin(φ/n + 2πk/n)), где k = 0, 1, ..., n-1
Например, уравнение z3 = 8 имеет корни:
- z1 = 2·(cos(0) + i·sin(0)) = 2
- z2 = 2·(cos(2π/3) + i·sin(2π/3)) = -1 + i√3
- z3 = 2·(cos(4π/3) + i·sin(4π/3)) = -1 - i√3
А уравнение z2 = -4 имеет корни z1 = 2i и z2 = -2i.
Применение комплексных чисел
Комплексные числа широко используются в различных областях математики, физики, электротехники и других науках. Рассмотрим несколько примеров.
С помощью комплексных чисел можно находить корни любых алгебраических уравнений, в том числе тех, которые не имеют действительных корней. Это позволяет исследовать свойства этих уравнений.
Электротехника
В электротехнике комплексные числа используются для описания переменных токов, напряжений и сопротивлений в цепях. Формулы с использованием мнимой единицы i позволяют учесть сдвиг фаз между током и напряжением.
Физика
В квантовой механике состояния частиц и волновые функции описываются комплексными числами. Комплексные величины используются для описания электромагнитных и других волн.
Во многих задачах физики применение комплексных чисел позволяет значительно упростить математические выкладки и получить результат в компактной форме.
Другие области
Комплексные числа используются в теории обработки сигналов, гидродинамике, термодинамике и других разделах физики, а также высшей математики. Например, для описания движения жидкостей и газов, распространения волн, преобразования Фурье и т.д.
