Выделение квадрата двучлена - это важный математический прием, позволяющий упростить работу с квадратными трехчленами. Рассмотрим подробно, что это такое и зачем это нужно.
Суть метода выделения квадрата двучлена
Данный метод заключается в представлении квадратного трехчлена вида ax2 + bx + c в следующем виде:
(квадрат двучлена) + число
Например:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 + 0
Здесь (x + 3)2 - это и есть квадрат двучлена x + 3. А 0 - оставшееся число.
Для выделения используются формулы квадрата суммы и квадрата разности. Цель - сгруппировать члены с x и числовые члены так, чтобы получился полный квадрат.
Зачем это нужно:
- Упрощает решение различных задач с квадратным трехчленом: уравнения, неравенства, построение графиков и т.д.
- Позволяет наглядно увидеть квадратную зависимость
- Является основой для вывода формулы корней квадратного уравнения
- Пригодится в вузовском курсе математики: при интегрировании, работе с кривыми 2-го порядка и т.д.
Как выделять квадрат двучлена: алгоритм
Рассмотрим общий алгоритм выделения квадрата двучлена:
- Вынести коэффициент при x2 за скобки (если он не равен 1)
- Разделить оставшиеся коэффициенты на вынесенный коэффициент при x2
- Сгруппировать члены с x и числовые члены, чтобы получился квадрат двучлена (число ± корень из числа)2
- При необходимости добавить/вычесть число для получения точного квадрата
- Записать трехчлен в виде (квадрат двучлена) ± число
Давайте разберем на конкретном примере выделение квадрата двучлена в трехчлене 2x2 - 12x + 20:
- Выносим 2: 2(x2 - 6x + 10)
- Делим коэффициенты в скобках на 2: 2(x2 - 6x + 10)
- Группируем члены с x и числовые члены: 2(x2 - 6x + 9 + 1)
- Вычитаем добавленную 1: 2(x2 - 6x + 9) - 2
- Преобразуем в квадрат двучлена: 2(x - 3)2 - 2
Таким образом, применив метод выделения квадрата двучлена, мы представили трехчлен 2x2 - 12x + 20 в виде 2(x - 3)2 - 2.
Давайте теперь потренируемся применять этот метод для решения задач.
Пример 1. Построение графика функции
Нарисуем график функции y = -x2 + 6x - 5. Сначала выделим квадрат двучлена:
-x2 + 6x - 5 = -(x - 3)2 + 4
Теперь видно, что график будет парабола с вершиной в точке (3; 4), направленная ветвями вниз.
Пример 2. Решение уравнения
Решим уравнение x2 - 10x + 21 = 0 с помощью выделения квадрата двучлена:
x2 - 10x + 25 - 4 = 0
(x - 5)2 - 4 = 0
Ответ: x1 = x2 = 5.
Выделение квадрата двучлена при решении уравнений и неравенств
Одно из важнейших применений этого метода - упрощение решения различных уравнений и неравенств, содержащих квадратный трехчлен. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решение квадратного уравнения
Решим уравнение: x^2 - 6x - 7 = 0
- Выделяем полный квадрат: x^2 - 6x + 9 - 16 = 0
- Группируем слагаемые: (x - 3)^2 - 16 = 0
- Применяем свойства нуля произведения: x - 3 = ±4
- Решаем каждое уравнение:
- x - 3 = 4; x = 7 x - 3 = -4; x = -1
- Ответ: x1 = 7; x2 = -1
Пример 2. Решение квадратного неравенства
Решим неравенство: x^2 + 10x + 21 > 0
- Выделяем полный квадрат: x^2 + 10x + 25 - 4 > 0
- Группируем слагаемые: (x + 5)^2 - 4 > 0
- Так как квадрат всегда положителен, а из положительного числа вычли 4, то выражение тоже положительно при любых значениях x.
- Ответ: x ∈ R
Как видно на этих примерах, выделение полного квадрата часто позволяет существенно упростить решение и избежать громоздких преобразований.
Применение при решении задач с параметрами
Еще одна полезная область для данного метода - это решение задач с параметрами. Например, найти все значения параметра a, при которых уравнение x^2 - 6x + a = 0 имеет единственный корень.
Решение:
- Выделяем полный квадрат: x^2 - 6x + 9 + a - 9 = 0
- Группируем слагаемые: (x - 3)^2 + a - 9 = 0
- Согласно условию, уравнение должно иметь единственное решение. Это возможно только если выражение в скобках обращается в ноль, а значит a - 9 = 0.
- Получаем ответ: a = 9.
Таким образом, выделив полный квадрат, мы нашли нужное значение параметра, при котором выполняется условие задачи.
