Выделение квадрата двучлена: особенности вычислений

Выделение квадрата двучлена - это важный математический прием, позволяющий упростить работу с квадратными трехчленами. Рассмотрим подробно, что это такое и зачем это нужно.

Суть метода выделения квадрата двучлена

Данный метод заключается в представлении квадратного трехчлена вида ax2 + bx + c в следующем виде:

(квадрат двучлена) + число

Например:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 + 0

Здесь (x + 3)2 - это и есть квадрат двучлена x + 3. А 0 - оставшееся число.

Для выделения используются формулы квадрата суммы и квадрата разности. Цель - сгруппировать члены с x и числовые члены так, чтобы получился полный квадрат.

Пошаговое выделение квадрата трехчлена на бумаге

Зачем это нужно:

  • Упрощает решение различных задач с квадратным трехчленом: уравнения, неравенства, построение графиков и т.д.
  • Позволяет наглядно увидеть квадратную зависимость
  • Является основой для вывода формулы корней квадратного уравнения
  • Пригодится в вузовском курсе математики: при интегрировании, работе с кривыми 2-го порядка и т.д.

Как выделять квадрат двучлена: алгоритм

Рассмотрим общий алгоритм выделения квадрата двучлена:

  1. Вынести коэффициент при x2 за скобки (если он не равен 1)
  2. Разделить оставшиеся коэффициенты на вынесенный коэффициент при x2
  3. Сгруппировать члены с x и числовые члены, чтобы получился квадрат двучлена (число ± корень из числа)2
  4. При необходимости добавить/вычесть число для получения точного квадрата
  5. Записать трехчлен в виде (квадрат двучлена) ± число

Давайте разберем на конкретном примере выделение квадрата двучлена в трехчлене 2x2 - 12x + 20:

  1. Выносим 2: 2(x2 - 6x + 10)
  2. Делим коэффициенты в скобках на 2: 2(x2 - 6x + 10)
  3. Группируем члены с x и числовые члены: 2(x2 - 6x + 9 + 1)
  4. Вычитаем добавленную 1: 2(x2 - 6x + 9) - 2
  5. Преобразуем в квадрат двучлена: 2(x - 3)2 - 2

Таким образом, применив метод выделения квадрата двучлена, мы представили трехчлен 2x2 - 12x + 20 в виде 2(x - 3)2 - 2.

Преподаватель объясняет вывод формулы корней у доски

Давайте теперь потренируемся применять этот метод для решения задач.

Пример 1. Построение графика функции

Нарисуем график функции y = -x2 + 6x - 5. Сначала выделим квадрат двучлена:

-x2 + 6x - 5 = -(x - 3)2 + 4

Теперь видно, что график будет парабола с вершиной в точке (3; 4), направленная ветвями вниз.

Пример 2. Решение уравнения

Решим уравнение x2 - 10x + 21 = 0 с помощью выделения квадрата двучлена:

x2 - 10x + 25 - 4 = 0

(x - 5)2 - 4 = 0

Ответ: x1 = x2 = 5.

Выделение квадрата двучлена при решении уравнений и неравенств

Одно из важнейших применений этого метода - упрощение решения различных уравнений и неравенств, содержащих квадратный трехчлен. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решение квадратного уравнения

Решим уравнение: x^2 - 6x - 7 = 0

  1. Выделяем полный квадрат: x^2 - 6x + 9 - 16 = 0
  2. Группируем слагаемые: (x - 3)^2 - 16 = 0
  3. Применяем свойства нуля произведения: x - 3 = ±4
  4. Решаем каждое уравнение:
      x - 3 = 4; x = 7 x - 3 = -4; x = -1
  5. Ответ: x1 = 7; x2 = -1

Пример 2. Решение квадратного неравенства

Решим неравенство: x^2 + 10x + 21 > 0

  1. Выделяем полный квадрат: x^2 + 10x + 25 - 4 > 0
  2. Группируем слагаемые: (x + 5)^2 - 4 > 0
  3. Так как квадрат всегда положителен, а из положительного числа вычли 4, то выражение тоже положительно при любых значениях x.
  4. Ответ: x ∈ R

Как видно на этих примерах, выделение полного квадрата часто позволяет существенно упростить решение и избежать громоздких преобразований.

Применение при решении задач с параметрами

Еще одна полезная область для данного метода - это решение задач с параметрами. Например, найти все значения параметра a, при которых уравнение x^2 - 6x + a = 0 имеет единственный корень.

Решение:

  1. Выделяем полный квадрат: x^2 - 6x + 9 + a - 9 = 0
  2. Группируем слагаемые: (x - 3)^2 + a - 9 = 0
  3. Согласно условию, уравнение должно иметь единственное решение. Это возможно только если выражение в скобках обращается в ноль, а значит a - 9 = 0.
  4. Получаем ответ: a = 9.

Таким образом, выделив полный квадрат, мы нашли нужное значение параметра, при котором выполняется условие задачи.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.