Многие школьники и студенты сталкиваются с необходимостью найти синус угла в прямоугольном треугольнике. Это кажется сложным, но на самом деле все довольно просто, если знать 7 основных шагов.
Определение синуса угла прямоугольного треугольника
Давайте начнем с определений. Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов равен 90 градусам (прямой угол). Такой треугольник имеет особые свойства. В нем выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Гипотенуза – это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Остальные две стороны называются катетами.
Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение длины противолежащего данному углу катета к длине гипотенузы:
sin α = a/c, где
- α – искомый острый угол
- a – противолежащий ему катет
- c – гипотенуза
Например, для треугольника на рисунке sin A = b/c.
Итак, чтобы найти синус угла в прямоугольном треугольнике, нужно разделить длину противолежащего ему катета на длину гипотенузы. Результатом будет число от 0 до 1.
Построение прямоугольного треугольника по известному синусу угла
Если известно значение синуса острого угла прямоугольного треугольника, то по нему можно построить сам треугольник. Рассмотрим последовательность действий.
- Возьмем произвольный масштаб для рисунка и отложим на горизонтальной прямой отрезок длиной 1, соответствующий гипотенузе «с».
- Используя значение синуса угла (назовем его α), найдем длину противолежащего катета «a» по формуле: a = c * sin α
- Отложим полученную длину катета «a» на вертикальной прямой, взяв за начало координат точку на горизонтальной прямой.
- Соединим концы отложенных отрезков. Получим искомый прямоугольный треугольник с известным синусом угла α.
Таким образом, зная синус угла, можно построить соответствующий этому синусу прямоугольный треугольник с помощью линейки и циркуля.
Вычисление синуса угла по известным сторонам треугольника
Часто при решении задач требуется найти не сам треугольник по синусу угла, а наоборот – вычислить синус угла в уже известном треугольнике. Алгоритм такого вычисления следующий:
- Записать длины известных сторон треугольника, например:
- AB = 3 см BC = 4 см AC = 5 см
- Определить, какой угол нас интересует, и какие стороны являются для него катетом и гипотенузой.
- Подставить соответствующие значения сторон в формулу синуса угла:\
sin α = a/c, где α – искомый угол. - Вычислить значение синуса угла и записать ответ.
Рассмотрим конкретный пример вычисления синуса угла В прямоугольном треугольнике со сторонами АВ=3, ВС=4 и АС=5.
Для угла В противолежащим катетом является ВС=4, а гипотенузой – АС=5. Тогда по формуле получаем:
sin В = ВС/АС = 4/5 = 0,8
Ответ: sin В = 0,8.
Применение синуса для нахождения неизвестных элементов треугольника
Зная значение синуса угла и какие-то дополнительные данные о треугольнике, можно найти его неизвестные элементы – стороны или другие углы. Рассмотрим основные случаи.
Если известна гипотенуза c и синус угла α, то противолежащий ему катет a вычисляется по формуле:
a = c * sin α
Например, если c=10 см, sin α = 0,6, то a = 10 * 0,6 = 6 см.
Если дан синус одного из острых углов треугольника (например, α) и синус другого острого угла (β), то третий угол вычисляется из соотношения:
sinγ = √(1 - sin2α - sin2β)
Здесь γ – искомый третий угол треугольника.
Значения синусов для основных углов
Синусы углов от 0 до 90 градусов приведены в специальных таблицах. Знание некоторых значений позволяет быстро находить синусы часто встречающихся острых, прямых и тупых углов.
| Угол α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| Sin α | 0 | 0,5 | ~0,707 | ~0,866 | 1 |
Например, синус 45 градусов равен примерно 0,707. Это позволяет быстро находить элементы в треугольниках с углом 45°.
Применение синусов в реальных задачах
Во многих прикладных задачах требуется знание и умение использовать свойства синусов. Рассмотрим несколько примеров.
В навигации и картографии синусы применяют для вычисления расстояний на местности. Если известны расстояние между двумя точками на карте S и угол α между направлением на север и направлением на эти точки, то расстояние между этими точками на местности вычисляется по формуле:
S_реальн = S_карта / sin α
В физике при исследовании световых лучей используют закон преломления света (закон Снеллиуса), в котором фигурирует отношение синусов углов падения и преломления.
