Умножение одночленов на многочлен - одна из важнейших тем в курсе алгебры 7 класса. Правильное понимание этого материала позволяет успешно решать многие задачи и уравнения, встречающиеся как в школьной программе, так и в реальной жизни.
Определение одночлена и многочлена
Прежде чем перейти непосредственно к правилу умножения одночлена на многочлен, давайте разберемся в определениях этих понятий:
- Одночлен - это произведение чисел, переменных и степеней. Например: 5x - одночлен 3a2b4 - одночлен
- Многочлен - это сумма или разность нескольких одночленов. Например: 2x + 3y - многочлен 4a3b + 7ab2 - многочлен
Чтобы записать многочлен в удобном для выполнения действий виде, его приводят к стандартному виду - представляют в виде суммы одночленов стандартного вида без подобных членов.
Правила умножения одночлена на многочлен
При умножении одночленов на многочлен используются следующие основные правила:
- Распределительное свойство умножения:
a(b + c) = ab + ac - Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: am ∙ an = am+n
- Правило расстановки знаков при умножении
Алгоритм умножения одночлена на многочлен
Чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, нужно придерживаться следующего алгоритма:
- Найти произведение данного одночлена и каждого члена многочлена
- Полученные произведения сложить
- При наличии возможности привести результирующий многочлен к стандартному виду (объединить подобные члены)
В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен. Рассмотрим несколько примеров.
Пояснение алгоритма на примерах
Дано:
- Одночлен: -5a
- Многочлен: 3a + 4b2
Найдем их произведение:
- -5a(3a + 4b2)
- Раскроем скобки с помощью свойства распределительности: -5a ∙ 3a + (-5a) ∙ 4b2
- Перемножим одночлены: -15a2 + -20ab2
Ответ: -15a2 - 20ab2
Умножение многочлена x - xy + 2 на одночлен 2y
Дано:
- Многочлен: x - xy + 2
- Одночлен: 2y
Выполним умножение:
- (x - xy + 2) ∙ 2y
- Переставим множители местами: 2y(x - xy + 2)
- Раскроем скобки: 2y · x - 2y · xy + 2y · 2
- Перемножим одночлены: 2xy - 2xy2 + 4y
Ответ: 2xy - 2xy2 + 4y
Как видим, алгоритм довольно прост, но требует аккуратности и внимательности на каждом шаге. Чтобы закрепить навык, выполните несколько упражнений самостоятельно.
Задания для самостоятельного решения
Решите следующие примеры на умножение одночлена на многочлен и проверьте себя по представленным ответам:
-
Найдите произведение одночлена 2a и многочлена a + b.
Решение:
2a(a + b) = 2a∙a + 2a∙b = 2a2 + 2ab
Ответ: 2a2 + 2ab
-
Вычислите произведение одночлена -3x и многочлена 2x - y + 1
Решение:
-3x(2x - y + 1) = -6x2 + 3xy - 3x
Ответ: -6x2 + 3xy - 3x
-
Найдите произведение одночлена y и многочлена 3 - 2y + xy2
Решение:
y(3 - 2y + xy2) = 3y - 2y2 + xy3
Ответ: 3y - 2y2 + xy3
-
Вычислите выражение: (2x - 3y)(x + 5)
Решение:
(2x - 3y)(x + 5) = 2x(x + 5) - 3y(x + 5)
= 2x2 + 10x - 3xy - 15y
Ответ: 2x2 + 10x - 3xy - 15y
-
Упростите выражение: 3a(a - 2b)
Решение:
3a(a - 2b) = 3a∙a - 3a∙2b = 3a2 - 6ab
Ответ: 3a2 - 6ab
Как видите, основные сложности при умножении одночленов на многочлен состоят в правильном применении свойств и расстановке знаков. Со временем этот навык приходит и выполнение подобных примеров не вызывает трудностей.
Теперь рассмотрим еще один полезный прием при работе с многочленами - вынесение общего множителя за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя в многочлене позволяет представить его в виде произведения одночлена и многочлена. Это удобно использовать для упрощения дробей или решения уравнений.
Например, дан многочлен:
- 6x2y - 3xy2
Вынесем за скобки общий множитель:
- 6x2y - 3xy2 = 3xy(2x - y)
Получили произведение одночлена 3xy и многочлена (2x - y). Теперь, если это выражение является числителем дроби, мы можем упростить ее, разделив числитель и знаменатель на общий множитель.
Рассмотрим еще один пример вынесения более сложного многочлена:
- 2x(x2 + 3x + 1) - 4(x2 + 3x + 1) = (x2 + 3x + 1)(2x - 4)
Здесь в скобках получился многочлен 2x - 4, который является общим множителем.
Таким образом, умение выносить множитель за скобки расширяет арсенал приемов при работе с многочленами и решении уравнений. Это полезный навык, который следует отрабатывать вместе с основным умножением одночленов на многочлен.
Решение текстовых задач
При решении задач на движение, работу и т.д. также приходится выполнять различные действия с многочленами.
Например, необходимо найти путь, который проходят два пешехода за определенное время. Сначала записываем формулы движения каждого:
- S1 = (v1 - 5)t
- S2 = (v2 + 10)t
Где v1 и v2 - скорости пешеходов.
С помощью вынесения общего множителя объединяем формулы в одну:
- S1 + S2 = t(v1 - 5 + v2 + 10)
Дальше подставляем числовые значения и находим результат.
Разложение многочленов на множители
Еще одним полезным приемом работы с многочленами является их разложение на множители.
Это нужно, например, чтобы упростить рациональную дробь - разделить числитель и знаменатель на их общий множитель.
Рассмотрим пример:
Сначала разложим числитель многочлена на множители, вынеся общий множитель (x + 1) за скобки:
Теперь числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель (x + 1), на который можно поделить:
В результате мы значительно упростили дробь.
Типичные ошибки
При выполнении действий с многочленами встречаются некоторые типичные ошибки, которых стоит избегать:
- Неверное применение распределительного свойства
- Ошибки в расстановке знаков при перемножении одночленов
- Неправильное приведение подобных членов
- Пропуск членов многочлена при вынесении общего множителя
Чтобы их не допускать, нужно хорошо понимать правила и постоянно тренироваться на примерах разной сложности.
Дополнительные задания
Для закрепления навыков выполнения действий с многочленами, включая их умножение на одночлен, рекомендуется решать как можно больше разнообразных заданий.
Вот несколько полезных упражнений:
- Раскрыть скобки и привести подобные члены в многочленах
- Выполнить умножение одночлена на многочлен разной сложности
- Вынести общий множитель за скобки в многочлене
- Разложить многочлен на множители
- Упростить дробь с помощью разложения числителя на множители
- Решить уравнения и текстовые задачи с применением действий с многочленами
Чем больше будет практики, тем прочнее закрепится данный навык.
Заключение
Рассмотренные ранее правила и приемы работы с многочленами часто используются при решении различных уравнений и текстовых задач.
В частности, свойство распределительности умножения позволяет быстро и эффективно упрощать уравнения, содержащие скобки:
Пример:
- 2(x + 3) = 4x + 6
Используем распределительное свойство, чтобы избавиться от скобок:
- 2x + 6 = 4x + 6
После этого уравнение решается стандартным способом. В статье подробно разбирается тема умножения одночленов на многочлен, которая является важной частью школьного курса алгебры 7 класса.
