Восьмиугольник - уникальная геометрическая фигура с восемью углами. Хотя на первый взгляд она может показаться простой, расчет ее площади требует знания специальной формулы.
Основные свойства восьмиугольника
Давайте рассмотрим основные характеристики этой фигуры:
- Восьмиугольник имеет 8 углов и 8 сторон
- Сумма всех внутренних углов равна 1080 градусов
- У правильного восьмиугольника все углы равны 135 градусов, а все стороны равной длины
Правильный восьмиугольник называют также октагон. Он часто используется в архитектуре, дизайне, изобразительном искусстве. Например, встречается в постройках в виде куполов, башен, церквей.
Вывод формулы площади
Давайте выведем формулу для расчета площади правильного восьмиугольника. Воспользуемся тем, что его можно разрезать на 8 равных треугольников:
Каждый такой треугольник равнобедренный. Его можно сложить с соседним треугольником, в результате чего получится квадрат со стороной а (где а - сторона восьмиугольника).
Следовательно, площадь всего восьмиугольника равна площади 8 таких треугольников, или 4 квадратов:
S = 4 * a^2
Отсюда получаем простую формулу площади восьмиугольника:
S = 2 * (1 + √2) * a^2
где:
- S - площадь
- a - длина стороны
Эту же формулу можно записать через периметр P:
S = (P^2) / (4 * (1 + √2))
Пример расчета площади
Допустим, у нас есть правильный восьмиугольник со стороной, равной 5 см. Давайте вычислим его площадь:
- Подставляем значение стороны а = 5 см в формулу:
S = 2 * (1 + √2) * 5^2
- Вычисляем:
S = 2 * (1 + 1.41) * 25 = 100 см2
Итого, площадь нашего восьмиугольника равна 100 кв.см.
Как видите, несмотря на кажущуюся сложность фигуры, расчет ее площади с помощью специальной формулы довольно прост!
Другие формулы площади
Рассмотренная выше формула площади является наиболее простой и наглядной. Но существуют и другие способы вычислить площадь восьмиугольника.
Формула через апофему
Апофема - это расстояние от центра вписанной окружности до середины любой из сторон многоугольника. Для правильного восьмиугольника апофема равна половине стороны, умноженной на корень квадратный из 2 минус 1. Подставив это значение в общую формулу площади через апофему, получаем:
S = 8 * a/2 * √(2 - 1) / 2 = 2 * (1 + √2) * a^2
Вычисление через тригонометрические функции
Можно также воспользоваться формулами тригонометрии. Известно, что каждый внутренний угол правильного восьмиугольника равен 135 градусам. Тогда:
S = (n * a^2) / (4 * tg(180 / n))
S = (8 * a^2) / (4 * tg(180 / 8)) = 2 * (1 + √2) * a^2
Получили ту же самую формулу!
Вывод через диагонали
Можно вывести формулу, воспользовавшись диагоналями восьмиугольника. Как известно, у него их всего 20 штук. Рассмотрим диагональ AD. Она делит фигуру на 2 части, каждая из которых представляет собой 4 треугольника.
При этом площадь каждой части равна 2*a^2. Следовательно, общая площадь восьмиугольника S = 2*2*a^2 = 4*a^2. Опять получили знакомое выражение!
Применение восьмиугольников
Восьмиугольная форма широко используется в самых разных областях благодаря своим уникальным свойствам:
- Архитектура и строительство: купола, башни, храмы
- Дизайн: мебель, посуда, украшения
- Живопись и орнаменты
- Техника: корпуса приборов, детали машин
Например, знак "Стоп" имеет форму красного восьмиугольника. А в некоторых компьютерных играх восьмиугольник используется в качестве игрового поля или арены.
Плюсы и минусы формы
У восьмиугольной фигуры есть как достоинства, так и недостатки:
Плюсы: /> - Устойчивость - Компактность при сохранении вместимости - Эстетичный внешний вид - Легкость воспроизведения и расчета Минусы: /> - Больше углов, чем у квадрата или прямоугольника - Сложность обработки по сравнению с окружностью
Поэтому в каждом конкретном случае нужно решать, насколько оправдано использование именно восьмиугольной геометрической формы.
