Вы когда-нибудь задумывались, почему для нахождения площади такой простой фигуры, как прямоугольная трапеция, используют странные формулы вместо банального перемножения длин ее сторон? Я тоже задавался этим вопросом. И сегодня я поделюсь ответом!
Что такое прямоугольная трапеция и какие бывают трапеции
Давайте разберемся, что это за фигура такая - прямоугольная трапеция. Трапеция вообще - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Эти параллельные стороны называются основаниями. А непараллельные - боковыми сторонами.
Бывают три основных вида трапеций:
- Прямоугольная трапеция - у нее одна из боковых сторон перпендикулярна (образует прямой угол) с основаниями;
- Равнобедренная трапеция - у нее боковые стороны равной длины;
- Произвольная трапеция - у нее нет никаких дополнительных свойств боковых сторон или углов.
А прямоугольная трапеция отличается тем, что одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это важное свойство, которое мы используем при вычислении площади.
Кстати, прямоугольные трапеции часто встречаются в реальных расчетах. Например, когда нужно узнать объем воды в бассейне или площадь крыши дома нестандартной формы.
Существует целых 5 способов, как можно найти площадь прямоугольной трапеции. Рассмотрим каждый из них.
Через 3 стороны
Первый способ - через 3 стороны: 2 основания и боковую сторону, перпендикулярную этим основаниям (она же высота трапеции).
Формула выглядит так:
Где:
- S - площадь трапеции
- a - длина одного основания
- b - длина другого основания
- h - высота трапеции (перпендикулярная сторона)
Получается, что нам нужно сложить длины двух оснований, разделить пополам и умножить на высоту трапеции. Все просто!
Через высоту и среднюю линию
Второй способ - через высоту и среднюю линию. Средняя линия трапеции соединяет середины двух оснований.
"площадь прямоугольной трапеции равна 30"
Формула:
Где:
- S - площадь трапеции
- h - высота трапеции
- m - длина средней линии
Через основания и углы
Еще один распространенный способ - через основания и углы. Для этого нам понадобятся длины двух оснований трапеции и значения углов при одном из этих оснований.
Формула выглядит так:
Где:
- S - площадь трапеции
- a - длина одного основания
- c - длина другого основания
- α - один угол при основании
- β - второй угол при основании
Здесь мы используем длины сторон и тригонометрические функции синуса углов. Выглядит сложно, но на практике не так страшно.
Через диагонали и углы между ними
"находить площадь прямоугольной трапеции" можно также через ее диагонали - отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.
Формула:
Здесь:
- S - площадь трапеции
- d1, d2 - длины диагоналей
- α - угол между диагоналями
Причем, если диагонали перпендикулярны (образуют прямой угол), то формула упрощается:
Через 4 стороны
И последний, пятый способ - через все 4 стороны трапеции. Это пригодится, когда мы не знаем, какая из сторон является высотой или основанием.
Находить площадь по 4 сторонам можно по такой формуле:
Здесь:
- S - площадь
- a, c - основания
- b - высота (перпендикулярная сторона)
- d - неперпендикулярная сторона
Как видите, есть много способов "нахождения" площади прямоугольной трапеции в зависимости от исходных данных.
Какой способ выбрать
Естественно, возникает вопрос - а какой из 5 способов выбрать на практике? Все зависит от того, какие исходные данные у нас есть.
Я бы посоветовал придерживаться следующего алгоритма выбора подходящей формулы:
- Проанализировать условие задачи и определить, какие параметры трапеции нам известны (стороны, углы и т.д.)
- Выбрать ту формулу, в которой используются именно эти параметры. Например, если известны 3 стороны - берем 1-й способ.
- Если подходящей формулы нет, попробовать вывести неизвестные данные через геометрические зависимости. Скажем, через теорему Пифагора.
- Подставить числовые значения в формулу и вычислить ответ.
Проверка правильности
Чтобы проверить, верно ли мы нашли площадь, рекомендую использовать несколько способов вычисления. И сравнить результаты.
Если два разных способа дали одинаковый ответ с точностью до сотых, значит, скорее всего мы все сделали верно. А если есть расхождения - нужно перепроверить подстановки в формулы.
Типичные ошибки
Чтобы находить площадь прямоугольной трапеции безошибочно, я бы посоветовал избегать вот таких распространенных оплошностей:
- Путаница, какая сторона является основанием, а какая - высотой
- Ошибки при извлечении квадратного корня
- Неверное определение знаков синусов и косинусов углов
- Неправильный порядок действий в формуле (например, сначала найти sin, а потом возвести в квадрат)
К полезным навыкам
Умение находить площади геометрических фигур очень полезно развивает логическое и пространственное мышление. Поэтому я рекомендую регулярно решать подобные задачи на трапеции - это хорошая математическая зарядка для ума!
