Вы когда-нибудь задумывались, откуда взялся знак корня и как его можно вычислить? Удивительная история открытия формул корней, увлекательная теория вычислений и полезная практика упрощения радикалов ждут вас внутри статьи!
История открытия формул корней
Первые упоминания о вычислении корней относятся к Вавилонским математикам около 1800 года до н.э. Они решали задачи типа: "Найти сторону квадрата площадью 12". Это равносильно нахождению корня квадратного из 12.
Квадратный корень — универсальное название, которое есть в разных предметах. В русском языке корень — это главная часть слова, в биологии корень — это вегетативный орган высших растений, в математике корень (n-ной степени) — это такое неотрицательное число, при возведении в n-ную степень которого получается первоначальное число.
В средние века европейские математики, такие как Кардано, использовали обозначение Rx для квадратного корня. Это сокращение от латинского слова "radix" - корень. Современный символ корня √ впервые ввел Христоф Рудольф в 1525 году, он также происходит от слова "radix".
- 1525 год - Христоф Рудольф вводит символ корня √
- 1637 год - Декарт добавляет горизонтальную черту над радикалом
После открытия формулы корней многочленов итальянским математиком Джероламо Кардано в XVI веке началось активное изучение комплексных чисел. Комплексные числа можно рассматривать как корни из отрицательных чисел. Например, .
Важное открытие в теории корней сделал французский математик Эварист Галуа в 1830 году. Он доказал, что не все корни многочленов можно представить cuando четырех арифметических действий и извлечения корней из натуральных чисел.
Основные понятия и определения
Корень n-й степени - это такое число, которое при возведении в n-ю степень дает исходное число. Например, корень кубический из 8 будет 2, так как .
Для арифметического квадратного корня существуют следующие свойства:
- √a ± √b = √(a ± 2√ab + b)
- √a ∙ √b = √ab
- (√a)2 = a, если a ≥ 0
Однако для комплексных чисел эти свойства не работают, так как корень становится многозначным. Распространенная ошибка:
√4 = 2, но√(-4) ≠ 2i, а равно2iили-2i
Корни из отрицательных чисел определяются с помощью мнимой единицы i, где i2 = -1. Корни из дробных чисел могут быть записаны в виде степени с дробным показателем:
- - корень квадратный из 1/4
- - корень кубический из -8
Правила действий со степенями
Рассмотрим основные правила действий со степенями:
- При перемножении степеней показатели складываются:
аm ∙ аn = аm+n - При делении степеней показатели вычитаются:
аm / аn = аm-n - При возведении степени в степень показатели перемножаются:
(аm)n = аmn
Эти формулы широко используются при вычислении выражений с формулами корней. Рассмотрим несколько примеров:
Примеры применения формул степеней и корней
Пример 1. Упростите выражение:
Решение: √3 ∙ √12 / √6 = √3 ∙ √4 / √6 = √3 ∙ 2 / √6 = 2
Пример 2. Вычислите:
Решение: (√5)3 = √125 = 5
Упрощение выражений с корнями
Часто нужно представить выражение с корнями в более простом аналитическом виде. Для этого используются различные приемы. Рассмотрим некоторые из них:
- Сокращение дробей под корнем
- Приведение под общий корень
- Разложение на множители
Пример упрощения выражения с корнями:
√(3x2 - 9) = √(3(x2 - 3))) = √3|x - √3|
Решение уравнений с корнями
Для решения уравнений, содержащих корни, используется алгоритм:
- Освободиться от корня, возведя обе части уравнения в степень
- Решить полученное уравнение обычным способом
- Отбросить посторонние корни, не удовлетворяющие исходному уравнению
- Записать ответ
Например, решим уравнение √(2x + 7) - 4 = 0
Возводим обе части в квадрат: (2x + 7) - 16 = 0 Решаем: 2x = 9 Ответ: x = 4,5
Ручное извлечение корней
Для ручного извлечения корней используется алгоритм, похожий на деление столбиком. Рассмотрим пример:
| 7 | 2,6 |
| 3 | 04 |
| 04 | 00 |
Таким образом, корень квадратный из 7 равен приближенно 2,6. Точность вычислений можно повысить, добавляя знаки после запятой.
Вычисление корней на калькуляторе и компьютере
Для быстрого и точного вычисления корней любой степени используются специальные программы и калькуляторы. Например:
- Калькулятор Windows
- Математический пакет Mathematica
- Инженерный калькулятор
- Онлайн-калькуляторы
