Математика кажется сложной наукой, но на самом деле она подчиняется простым и логичным правилам. Одно из таких важных правил – порядок выполнения действий в математических выражениях. Зная его, можно безошибочно решать даже сложные примеры. Давайте разберемся, что выполняется первым – умножение или деление.
История вопроса: кто придумал правила выполнения действий
Порядок действий в математических выражениях впервые сформулировал в 16-м веке французский математик Пьер де Ферма. В своей книге «Введение в алгебру» он установил, что первыми выполняются умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.
«В выражениях, где есть и умножение, и сложение, сначала нужно выполнить умножение и деление, а затем прибавление и вычитание». Пьер де Ферма, «Введение в алгебру», 1637 год.
Это правило действует и по сей день. Оно позволяет избежать ошибок при вычислениях и получить верный результат.
Базовые понятия
Прежде чем переходить непосредственно к порядку действий, давайте определим ключевые понятия:
- Математическое выражение – запись, содержащая числа, переменные, знаки операций.
- Арифметические действия – сложение, вычитание, умножение, деление.
- Числовое выражение – выражение, состоящее только из чисел и знаков арифметических действий.
Рассмотрим числовые выражения подробнее и разберемся, в каком порядке нужно выполнять действия в них.
Порядок действий в простых выражениях
Начнем с простого случая – когда в выражении присутствует только один вид действий. Например, сложение и вычитание:
- 2 + 3 + 5 - 1
Что делается первым: умножение или деление? Здесь все действия одинаковые по «силе», поэтому выполняются слева направо:
- 2 + 3 = 5
- 5 + 5 = 10
- 10 - 1 = 9
Аналогично, если есть только знаки умножения/деления:
- 2 * 3 / 6
Выполняем:
- 2 * 3 = 6
- 6 / 6 = 1
То есть при наличии действий одного уровня приоритетности они выполняются слева направо без изменения порядка.
А вот если в выражении есть и сложение/вычитание, и умножение/деление? Какое первое действие: умножение или деление?
Согласно правилу, сформулированному еще Пьером де Ферма:
Сначала выполняются умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание также слева направо.
Пример:
- 2 + 3 * 4 / 2 - 1
Решение:
- 3 * 4 = 12
- 12 / 2 = 6
- 2 + 6 = 8
- 8 - 1 = 7
Как видите, несмотря на то, что в исходном выражении сложение стояло левее умножения, оно было выполнено после – в соответствии с приоритетом действий.
Выражения со скобками и другими операциями
Еще один распространенный случай, когда в выражении присутствуют скобки. Они используются, чтобы изменить порядок действий. Как правило, в скобках записывают то, что должно выполняться в первую очередь.
Например:
(2 + 3) * 4 - 5
Сначала вычисляем то, что в скобках:
- (2 + 3) = 5
- 5 * 4 = 20
- 20 - 5 = 15
Заметьте, как скобки повлияли на приоритет действий – сложение оказалось «сильнее» последующего умножения.
Помимо скобок, есть и другие операции, которые также влияют на очередность вычислений – например, возведение в степень, извлечение корня, вычисление тригонометрических и логарифмических функций и т.д. Они выполняются до остальных действий в выражении.
Пример со степенью:
2 + 32 * 4 / 2
- 32 = 9
- 9 * 4 = 36
- 36 / 2 = 18
- 2 + 18 = 20
Как видно из решения, возведение в квадрат было выполнено первым, до умножения и деления.
Алгоритм выполнения действий
Чтобы безошибочно определять, что делается первым — умножение или деление, можно использовать следующий алгоритм:
- Найти в выражении скобки и вычислить выражения в них
- Выполнить возведение в степень, извлечение корня и другие функции
- Выполнить умножение и деление слева направо
- Выполнить сложение и вычитание слева направо
Следуя этим шагам, можно правильно определить приоритет действий и найти верное значение любого выражения.
Распространенные ошибки
Несмотря на простоту основного правила, многие допускают типичные ошибки. Рассмотрим наиболее частые из них.
- Неверный порядок умножения/деления и сложения/вычитания
- Неправильный приоритет скобок
- Пропуск степеней и функций
Чтобы этого избежать, нужно четко представлять иерархию действий и пошагово следовать правилам.
Полезные упражнения
Для закрепления навыка можно использовать специальные упражнения, где нужно:
- определить порядок действий в выражении
- вставить пропущенные скобки
- исправить ошибки в решении
Выполняя такие задания, можно отточить умение правильно применять правила.
Где это пригодится
Навык определения приоритета действий необходим не только для решения учебных примеров по математике. Он применим для:
- Расчетов в физике и химии
- Анализа данных и статистики
- Программирования
- Финансовых расчетов
Поэтому очень важно хорошо понимать и соблюдать это правило на практике.
Подбор сложности упражнений
Чтобы эффективно тренировать навык, важно правильно подобрать сложность упражнений. Начинать лучше с простых примеров, постепенно увеличивая количество действий и использование скобок.
Простой уровень:
- 2-3 действия без скобок
- Только один вид действий в начале
Средний уровень:
- 3-4 действия со скобками
- Разные виды действий
Сложный уровень:
- Много вложенных скобок
- Степени, корни, функции
- Необходим подсчет в уме
Постепенное усложнение помогает закрепить навык и подойти к решению задач любого уровня.
Роль скорости счета
Помимо правильного порядка действий, для успешного решения примеров важна и скорость вычислений. Чем быстрее человек умеет складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме, тем легче ему определять приоритет операций.
Для тренировки скорости полезны задачи типа:
- Посчитать от 1 до 100 за минуту
- Быстро перемножить числа от 1 до 10
- На скорость сложить или вычесть двузначные числа
Такая тренировка развивает гибкость ума и помогает быстрее ориентироваться в последовательности шагов.
