Эксцентриситет эллипса: определение и формула нахождения

Эксцентриситет - важный параметр, характеризующий форму эллипса. Давайте разберемся, что это такое и как его найти.

Что такое эксцентриситет эллипса

По определению, эксцентриситет эллипса - это отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси:

эксцентриситет эллипса = отношение расстояния между фокусами / длина большой оси

Геометрически эксцентриситет показывает, насколько эллипс "вытянут". Чем ближе эксцентриситет к единице, тем сильнее эллипс отличается от окружности.

Формула для вычисления эксцентриситета эллипса

Исходя из определения, можно записать формулу для вычисления эксцентриситета:

эксцентриситет эллипса = c / a

где:

• c - половина расстояния между фокусами эллипса (фокусное расстояние)
• a - длина большой полуоси эллипса

Также можно воспользоваться формулой:

c = √(a² - b²)

где b - длина малой полуоси эллипса.

Как определить эксцентриситет эллипса

Итак, чтобы найти эксцентриситет эллипса, нужно:

1. Определить длины большой (a) и малой (b) полуосей эллипса.
2. Найти фокусное расстояние c по формуле c = √(a² - b²).
3. Подставить найденные значения a и c в формулу эксцентриситета.

Рассмотрим на примере:

Дано уравнение эллипса:

9x² + 4y² = 36

1. Находим длины полуосей:

• a = 6 (из коэффициента при x²)
• b = 2 (из коэффициента при y²)

2. Вычисляем фокусное расстояние:

c = √(a² - b²) = √(36 - 4) = √32 = 4

3. Подставляем в формулу эксцентриситета эллипса:

эксцентриситет эллипса = c / a = 4 / 6 = 0,67

Ответ: эксцентриситет данного эллипса равен 0,67.

Вычисление эксцентриситета эллипса на практике

Давайте рассмотрим несколько практических примеров вычисления эксцентриситета эллипса.

Пример 1

Дано уравнение эллипса:

16x² + 9y² = 144

Вычислим длины полуосей:

• a = 12
• b = 3

Находим фокусное расстояние:

c = √(a² - b²) = √(144 - 9) = √135 = 9

Подставляем в формулу эксцентриситета:

эксцентриситет эллипса = c / a = 9 / 12 = 0,75

Пример 2

Дано уравнение эллипса:

25x² + 16y² = 400

Аналогичным образом находим:

• a = 10
• b = 4
• c = √(100 - 16) = √84 = 6

Эксцентриситет эллипса равен:

эксцентриситет эллипса = c / a = 6 / 10 = 0,6

Геометрический смысл эксцентриситета

Как уже упоминалось, эксцентриситет характеризует "вытянутость" эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем сильнее эллипс отклоняется от формы окружности.

Например, при эксцентриситете 0,9 эллипс будет сильно вытянутым. А при эксцентриситете 0,1 эллипс почти не будет отличаться от окружности.

Связь эксцентриситета и директрис эллипса

Эксцентриситет эллипса тесно связан с таким понятием как директрисы. Директрисами эллипса называют две прямые, проходящие параллельно малой оси симметрии на расстоянии a/e от центра (где a - большая полуось, e - эксцентриситет).

Свойства директрис

Отметим два важных свойства директрис:

1. Расстояние от любой точки эллипса до ближайшей директрисы равно b (где b - малая полуось).
2. Фокусы эллипса лежат на перпендикуляре, восстановленном из центра к директрисе.

Вычисление расположения директрис

Используя эксцентриситет эллипса, можно вычислить вычислить расположение его директрис. Для этого достаточно найти расстояние от центра эллипса до директрисы по формуле:

Расстояние до директрисы = a / e

где:

• a - большая полуось эллипса
• e - эксцентриситет эллипса

Таким образом, зная эксцентриситет, можно определить положение директрис в эллипсе.

Графическое определение эксцентриситета

Помимо аналитического расчета, эксцентриситет эллипса можно определить и графически. Для этого находят соотношение между длиной отрезка, соединяющего центр эллипса с одним из фокусов, и большой полуосью эллипса.

Порядок действий

1. Строим эллипс и отмечаем его фокусы.
2. Соединяем один из фокусов отрезком с центром.
3. Строим отрезок, равный большой оси эллипса.
4. Сравниваем длины отрезков "центр-фокус" и "большая ось". Их отношение дает величину эксцентриситета.

Такой метод позволяет наглядно получить приближенное значение эксцентриситета по рисунку.

Величина эксцентриситета определяет облик эллипса и, как следствие, области его применения.

Формы эллипса и эксцентриситет

От эксцентриситета зависит, насколько эллипс похож на окружность или вытянутую фигуру. Это определяет, подойдет ли он для конкретных задач.

Эллипсы в технике

Благодаря разнообразным формам эллипсов, они используются во многих областях техники. Например, траектории движения планет имеют форму эллипсов с небольшим эксцентриситетом.

Благодаря особенностям формы, эллипсы широко используются в астрономии и ракетостроении.

Траектории небесных тел

Траектории движения планет и других объектов Солнечной системы имеют форму эллипсов. Их эксцентриситет позволяет описывать вытянутые орбиты (например, у комет) и близкие к окружности (у планет).

Выведение космических аппаратов

При запуске космических аппаратов часто используют эллиптические траектории. Благодаря разному эксцентриситету можно выбрать оптимальную форму траектории для выхода на орбиту.

Эллипсы в строительстве и архитектуре

Особенности эллипсов учитывают и при проектировании различных сооружений - от мостов до стадионов.

Строительство мостов

При возведении арочных мостов за основу берут эллипс. Его эксцентриситет позволяет оптимально распределить нагрузку по несущим элементам.

Проектирование стадионов

Современные спортивные арены часто имеют эллиптическую форму. Это обеспечивает хороший обзор со всех мест и компактность конструкции.

Преимущества эллиптической формы

По сравнению с арками других форм, эллипс обладает следующими преимуществами:

• Равномерное распределение нагрузки по несущим элементам.
• Увеличенный размах при той же высоте конструкции.
• Повышенная прочность и устойчивость.

Зависимость характеристик от эксцентриситета

Подбирая эллипс с нужным эксцентриситетом, можно добиться оптимальных характеристик:

• Увеличить размах арки при заданной высоте.
• Снизить материалоемкость конструкции.
• Обеспечить требуемые габариты для судоходства.

При проектировании стадионов используют похожий подход - форма и размеры эллипса подбираются исходя из требований и особенностей участка.

Достоинства эллиптической планировки

Эллипс позволяет добиться ряда преимуществ:

• Хороший обзор поля с любого места.
• Компактность и вписываемость в городскую застройку.
• Возможность размещения подтрибунных помещений.