Пересечение множеств - увлекательная математическая операция, позволяющая найти общие элементы двух и более множеств. Давайте разберемся, что это такое и где в жизни пригодится это полезное знание.
Что такое пересечение множеств и зачем оно нужно
Пересечение множеств - это операция, в результате которой получается новое множество, содержащее только те элементы, которые одновременно входят в оба исходных множества.
Например, пусть заданы множества A = {1, 3, 5} и B = {3, 5, 7}. Тогда их пересечение будет C = A ∩ B = {3, 5}. Это элементы, общие для обоих множеств.
Основное предназначение операции - находить общий круг знакомых, похожие черты и т.д. Например, при создании таргетированной рекламы важно найти пересечение интересов потенциальных клиентов. Или в социологии, чтобы понять связи между разными группами людей.
Свойства пересечения множеств
Пересечение множеств обладает тремя свойствами:
- Коммутативность - порядок множеств не влияет на результат: \A ∩ B = B ∩ A
- Ассоциативность - порядок вычисления не важен: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- Идемпотентность - пересечение множества самим собой дает это же множество: A ∩ A = A
Эти свойства часто используются при доказательствах в теории множеств.
Алгоритм
Для конечных множеств применяется такой алгоритм:
- Записать элементы первого множества;
- Последовательно сравнить их со вторым множеством;
- Выписать те элементы, которые входят в оба множества - это и есть пересечение.
Например, пусть A = {2, 5, 7}, B = {3, 5, 7, 9}. Сравниваем по порядку:
- 2 - нет в B, не входит в пересечение
- 5 - есть в B, входит в пересечение
- 7 - есть в B, входит в пересечение
Итого: \A ∩ B = {5, 7}.
Графический способ
Пересечение множеств можно найти с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Множества изображаются в виде замкнутых фигур на плоскости. Область их наложения и есть пересечение.
Пересечение числовых множеств
Рассмотрим пример нахождения пересечения множеств на числовой прямой. Пусть заданы следующие числовые промежутки:
- A = [2; 7) = {x | 2 ≤ x < 7}
- B = (3; 10] = {x | 3 < x ≤ 10}
Изобразим эти промежутки графически:
Видно, что общей частью этих отрезков является промежуток [3; 7). Это и есть пересечение множеств A и B:
\A ∩ B = [3; 7)
Пересечение бесконечных множеств
А как быть, если множества бесконечны и заданы не явно, а с помощью характеристического свойства?
Например:
- C = {x | x - рациональное число}
- D = {x | \sin{x} > 0}
Чтобы найти \C ∩ D, нужно составить систему из двух неравенств:
Решив ее, получаем пересечение множеств в виде числовых промежутков: \C ∩ D = (−1; 1) ∪ (π; 2π).
Задачи на пересечение множеств
Рассмотрим классическую задачу:
В классе 30 учеников, из них:
- играют в футбол — 12 человек
- играют в волейбол — 15 человек
- играют и в футбол, и в волейбол — 7 человек
Сколько учеников не играют ни в футбол, ни в волейбол?
Обозначим:
- F - множество играющих в футбол
- V - множество играющих в волейбол
Тогда |F| = 12, |V| = 15. Пересечение этих множеств F ∩ V - это те, кто играет в оба вида спорта. Из условия известно, что таких учеников 7 человек.
Не играют ни в один из видов спорта, значит, они не попадают ни в множество F, ни во множество V. Это дополнение до универсального множества U (все ученики класса):
U ∖ (F ∪ V) = 30 ∖ (12 + 15 - 7) = 10 учеников
Ответ: 10 учеников не играют ни в футбол, ни в волейбол.
Пересечение подмножеств
Если одно множество целиком входит в другое множество в качестве подмножества, то их пересечение равно меньшему по объему множеству:
- A ⊆ B → A ∩ B = A
- B ⊆ A → A ∩ B = B
Это легко продемонстрировать на примере:
Здесь F - подмножество множества S. Их общей частью являются все элементы множества F. То есть F ∩ S = F.
Пересечение более двух множеств
Что, если нужно найти пересечение сразу трех или более множеств? В этом случае применяется ассоциативное свойство пересечения:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
То есть можно сначала взять пересечение двух множеств, а затем пересечь результат с третьим множеством. И повторять это до тех пор, пока не пересечем все множества.
Например, пусть заданы множества:
- A = {2, 3, 5, 7}
- B = {1, 3, 5, 9}
- C = {3, 5, 8}
- D = {2, 5, 9}
Тогда:
- A ∩ B = {3, 5}
- (A ∩ B) ∩ C = {3, 5} ∩ {3, 5, 8} = {3, 5}
- ((A ∩ B) ∩ C) ∩ D = {3, 5} ∩ {2, 5, 9} = {5}
Значит, пересечение всех четырех множеств равно {5}.
