Теорема о вертикальных углах - одна из самых важных и полезных в геометрии. Давайте разберемся, что она говорит и как помогает решать задачи на практике.
Определение и формулировка теоремы о вертикальных углах
Итак, что такое вертикальные углы?
Вертикальными называются два угла с общей вершиной, лежащие по разные стороны от пересекающихся прямых, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого.
На представленном выше рисунке видно, что углы AOB и COD - вертикальные. Их стороны взаимно дополняют друг друга.
Теорема о вертикальных углах гласит следующее:
Вертикальные углы равны.
Это ключевое свойство вертикальных углов часто используется при решении задач. Давайте докажем его.
Классическое доказательство теоремы о вертикальных углах
Воспользуемся известной теоремой о сумме смежных углов, согласно которой сумма смежных углов равна 180°.
Рассмотрим вертикальные углы ∠AOB и ∠COD. Угол ∠BOD является общим смежным и для ∠AOB, и для ∠COD. Из теоремы о сумме смежных углов получаем:
- ∠AOB + ∠BOD = 180°
- ∠COD + ∠BOD = 180°
Отсюда ∠AOB = ∠COD.
Значит, вертикальные углы равны.
Теорему доказать теорему о вертикальных углах удалось!
Примеры применения теоремы в задачах
Теперь рассмотрим, как теорема о вертикальных углах помогает в решении задач.
-
Дано: при пересечении двух прямых образовались углы ∠1 и ∠2. Известно, что ∠1 = 50°. Найти ∠2.
Решение: ∠1 и ∠2 являются вертикальными углами. По теореме вертикальные углы равны. Значит ∠2 = 50°.
-
Дан четырехугольник ABCD. Углы A и C - вертикальные. Известно, что ∠A = 40°, ∠B = 80°. Найти ∠D.
Решение: Из теоремы следует, что ∠C = ∠A = 40°. ∠B и ∠D - смежные углы. Их сумма равна 180°. Получаем: ∠B + ∠D = 180° 80° + ∠D = 180° ∠D = 100°
Другие способы доказательства теоремы о вертикальных углах
Рассмотренный выше классический способ доказательства опирается на теорему о сумме смежных углов. Но существуют и другие методы обоснования равенства вертикальных углов.
Доказательство от противного
Предположим, вертикальные углы ∠AOB и ∠COD не равны. Тогда один из них больше другого.
Но у них есть общий смежный угол ∠BOD. Сумма смежных углов ∠AOB и ∠BOD должна быть равна 180°. То же самое для ∠COD и ∠BOD.
Получается, что ∠BOD "участвует" в двух суммах, равных 180°. Это невозможно, если ∠AOB не равен ∠COD. Значит, наше предположение неверно.
Доказательство с помощью параллельных прямых
Рассмотрим две пересекающиеся прямые и образованные ими углы ∠AOB и ∠COD.
Проведем через точку B прямую BE, параллельную AC. Тогда получим два параллельных отрезка AC и BE с секущей BO. Соответственно:
- ∠ABO = ∠CBE (как накрест лежащие при параллельных)
- ∠BAC = ∠EBO (как соответственные при параллельных)
Следовательно, ∠AOB = ∠COD. Теорему вертикальных углов доказали и таким способом!
Наглядная модель
Равенство вертикальных углов можно показать и на простой бумажной модели.
Вырезаем из картона модель пересекающихся линий с образованными углами. Затем складываем ее пополам, совмещая стороны вертикальных углов. Убеждаемся, что углы полностью совпадают.
Такую наглядную демонстрацию можно использовать, например, при объяснении темы школьникам.
Применение теоремы о вертикальных углах в реальных ситуациях
Использование в строительстве и архитектуре
Свойство равенства вертикальных углов часто используется в строительстве и архитектуре.
Например, при возведении стен дома необходимо следить за вертикальностью конструкций. Отклонение от вертикали может привести к деформациям. Для контроля используют угольник или отвес — они должны образовывать с поверхностью стены вертикальные и, следовательно, равные углы.
Применение в оптике
В оптических приборах часто используются прямые под углом 90 градусов — перпендикулярные друг другу. Это связано с особенностями преломления света.
Например, в биноклях или подзорной трубе имеется система перпендикулярно расположенных линз и зеркал. Они создают изображение, используя эффекты отражения и преломления под прямым углом.
Примеры вертикальных углов в окружающем мире
Вертикальные углы можно увидеть в самых обычных вещах и явлениях природы:
- углы между стенами и полом в комнате
- углы между стволом и ветками дерева
- расходящиеся под прямым углом трещины в почве
- перекрестки дорог, перпендикулярные друг другу
Понимание свойств вертикальных углов помогает решать множество повседневных задач!
