Наверное, каждый из нас в школьные годы сталкивался с задачей решения квадратного уравнения. И, конечно, все помнят знаменитую формулу с дискриминантом D, от значения которого зависело количество корней уравнения. Обычно все шло гладко: вычисляли дискриминант, подставляли его в формулы и находили корни. Но что делать, если вдруг дискриминант оказывался отрицательным? Тогда, как правило, в ответе писали: "Корней нет". И все... А если честно, такой ответ нас никогда не устраивал. Давайте разберемся, что же все-таки делать в этом случае.
Что такое дискриминант
Для начала давайте вспомним, что из себя представляет дискриминант квадратного уравнения. Рассмотрим уравнение общего вида:
ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0
Дискриминант D для этого уравнения вычисляется по формуле:
D = b2 - 4ac
Дискриминант показывает, при каких значениях коэффициентов a, b и c исходное квадратное уравнение будет иметь корни
От значения дискриминанта зависит, сколько корней будет иметь наше уравнение:
- Если D > 0, то корней два
- Если D = 0, то корень один
- Если D < 0, то корней нет
Давайте разберем подробнее каждый из этих случаев.
Если отрицательный дискриминант - что это значит
Итак, что же происходит, когда дискриминант квадратного уравнения оказывается отрицательным числом? Это значит, что под корнем из отрицательного числа мы ничего не можем представить в области действительных чисел. Поэтому стандартные формулы для нахождения корней:
x1,2 = (-b ± √D)/2a
теряют смысл. И мы вынуждены констатировать, что при D < 0 наше уравнение корней не имеет.
Например, рассмотрим уравнение:
x2 + x + 1 = 0
Здесь: a = 1, b = 1, c = 1. Тогда:
D = 12 - 4·1·1 = 1 - 4 = -3
Получен отрицательный дискриминант, значит наше уравнение корней не имеет. Что бы мы ни подставляли вместо х, мы никогда не получим 0.
Что делать, если дискриминант отрицательный
Итак, что же делать в ситуации, когда столкнулись с отрицательным дискриминантом? Во-первых, рекомендуется еще раз внимательно проверить ход решения. Возможно, где-то была допущена ошибка в вычислениях.
Во-вторых, иногда отрицательный дискриминант может говорить о том, что мы рассматриваем неверную математическую модель реальной ситуации. Например, если решаем текстовую задачу, то, возможно, в формулировке задачи закралась неточность или противоречие.
Ну и если мы уверены в правильности своего решения, придется смириться с тем фактом, что при данных коэффициентах a, b и c наше уравнение корней в области действительных чисел не имеет. Здесь поможет графический анализ - построение графика соответствующей квадратичной функции. Из графика можно будет убедиться, что парабола и ось OX не пересекаются, то есть корней уравнения действительно нет.
Комплексные числа
Что, если нам все-таки нужно решить уравнение с отрицательным дискриминантом? Выход есть! Для этого нам понадобится расширить понятие числа и перейти от действительных чисел к комплексным.
Комплексные числа - это выражения вида a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = -1. В комплексных числах квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Поэтому, перейдя к комплексной плоскости, мы можем решать уравнения с отрицательным дискриминантом.
Если дискриминант равен отрицательному числу
Рассмотрим пример. Возьмем уравнение, которое мы уже анализировали ранее:
x2 + x + 1 = 0
У него дискриминант D = -3. Тогда корни будут комплексно-сопряженной парой:
x1 = (-1 + i√3)/2
x2 = (-1 - i√3)/2
Записывая корни в таком виде, мы как бы "спрятали" под корнем отрицательное число -3. И теперь формально наше уравнение имеет два комплексных корня.
Графическая интерпретация
Комплексные корни можно проинтерпретировать и графически. Для этого построим график соответствующей функции y = x2 + x + 1:
Из рисунка видно, что график параболы нигде не пересекает ось OX, то есть уравнение не имеет действительных корней. Однако точки (-1; 0) и (0; 1) являются вершиной параболы и точкой ее пересечения с осью OY соответственно. Их можно интерпретировать как "следы" от комплексных корней x1 и x2 на координатных осях.
А что дальше?
Мы рассмотрели основные подходы к решению проблемы отрицательного дискриминанта в квадратных уравнениях. Конечно, эту тему можно изучать и дальше, переходя к решению уравнений более высоких степеней, исследуя свойства комплексных чисел и многое другое. Главное понять, что отрицательный дискриминант - это не приговор, за ним скрывается увлекательный мир математики!
Действия с комплексными числами
Раз уж мы заговорили о комплексных числах, давайте разберемся, как с ними можно работать. Ведь для того, чтобы подставлять комплексные корни в исходное уравнение и проверять, действительно ли они являются его корнями, нужно уметь выполнять арифметические операции.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание комплексных чисел происходит по координатам, то есть раздельно для действительной и мнимой частей:
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
Умножение
Умножение чуть сложнее, здесь нужно помнить формулу:
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Деление
А вот деление комплексных чисел сводится к умножению на числитель на сопряженное к знаменателю число. Подробнее об этом можно прочитать в специальной литературе.
Проверка корней подстановкой
Теперь, когда мы знаем, как выполнять действия с комплексными числами, можно вернуться к нашему уравнению и проверить найденные корни.
Квадратные уравнения в теории вероятностей
Оказывается, знания о дискриминанте пригодятся не только в алгебре, но и в теории вероятностей. Дело в том, что распределение случайной величины описывается с помощью так называемой плотности вероятности. Эта функция может быть записана в виде параболы, а значит описываться квадратным уравнением.
Нормальное распределение
В частности, одним из наиболее важных является нормальное или гауссово распределение. Его плотность вероятности имеет вид параболы, симметричной относительно математического ожидания. При этом дисперсия распределения как раз и задается дискриминантом соответствующего квадратного уравнения.
Другие распределения
Помимо нормального, существует множество других распределений, также описываемых квадратными и биквадратными уравнениями: равномерное, Пуассона, хи-квадрат, Стьюдента и др. И везде дискриминант играет свою роль!
Нестандартные методы решения
Давайте выйдем за рамки школьной программы и рассмотрим некоторые нестандартные методы решения квадратных и биквадратных уравнений, где тоже встречается дискриминант.
